La Órbita Perfecta del Satélite Terra I
En 1998, la agencia espacial lanzaba el satélite Terra I, una misión crucial para estudiar el clima y la geografía de la Tierra. Su objetivo era mantener una órbita polar circular estable alrededor del planeta para proporcionar datos continuos y precisos. Pero, ¿cómo lograron que Terra I siguiera una trayectoria circular perfecta durante años?
El secreto está en conseguir un Movimiento Circular Uniforme (MCU). Terra I se mueve a una velocidad constante en una trayectoria circular alrededor de la Tierra. La clave para conseguir este movimiento es el equilibrio entre la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria, ejercida por la Tierra, actúa como una cuerda invisible que tira del satélite hacia el centro del planeta. Al mismo tiempo, la velocidad del satélite genera una fuerza centrípeta que lo empuja hacia fuera, este equilibrio entre las fuerzas hace que el satélite no tenga mas remedio que seguir una trayectoria estable circular alrededor de la Tierra.
Ahora los ingenieros podían calcular la velocidad exacta que Terra I necesitaba para mantenerse en órbita. Esta velocidad es crucial: si fuera demasiado baja, el satélite caería de vuelta a la Tierra; si fuera demasiado alta, escaparía al espacio. Con los cálculos precisos basados en las leyes del MCU, obtuvieron una velocidad orbital aproximada de 28,000 km/h que mantiene a Terra I orbitando a una altura constante de unos 500 kilómetros sobre la superficie terrestre.
Comprendiendo el Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Para entender el Movimiento Circular Uniforme (MCU), primero repasemos algunos conceptos del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). En el MRU, la velocidad se define como:
\[ v = \frac{s}{t} \]
donde \( s \) es la distancia recorrida y \( t \) es el tiempo. Esta velocidad es constante y la partícula sigue una trayectoria rectilínea.
Ahora, ¿qué sucede cuando la partícula sigue una trayectoria circular a velocidad constante? En el MRU, la velocidad es constante y rectilínea, pero en el MCU, el objeto se mueve en un círculo. Esto significa que su velocidad, aunque sigue siendo constante en magnitud, cambia continuamente de dirección porque no le queda mas remedio que ser tangente a la circunferencia en cada punto.
La velocidad tangencial en el MCU es siempre tangente a la trayectoria
Para el MCU, tenemos que introducir una nueva velocidad que mida como cambia el ángulo recorrido del circulo respecto del tiempo. Esta nueva velocidad la llamamos velocidad angular \(\omega\), y mide el cambio del ángulo respecto al tiempo:
\[ \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \]
donde \(\Delta \theta\) se mide en radianes y \(\Delta t\) en segundos.
La velocidad angular mide la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo
Relación entre Velocidad Tangencial y Velocidad Angular
La velocidad angular y la velocidad tangencial están intimamente relacionadas. En un círculo, la distancia recorrida \( s \) se relaciona con el ángulo \(\theta\) y el radio \( R \) del círculo mediante la fórmula:
\[ s = \theta \cdot R \]
Derivamos esta expresión respecto al tiempo, obtenemos:
\[ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d(\theta \cdot R)}{dt} \]
Como que el radio \( R \) es constante, esto se simplifica a:
\[ v = R \cdot \frac{d\theta}{dt} \]
\(\frac{d\theta}{dt}\) reprsenta cómo cambia el angulo recorrido por unidad de tiempo, es decir, define lo que hemos llamado la velocidad angular \(\omega\).
Por lo tanto, la relación entre la velocidad tangencial y la velocidad angular es:
\[ v = \omega \cdot R \]
Esta ecuación es fundamental porque nos permite conectar un movimiento rectilíneo con uno circular. Mientras que en el MRU la velocidad es constante y sigue una línea recta, en el MCU la velocidad tangencial es constante y sigue una trayectoria tangente en cada punto del círculo.
La velocidad angular \(\omega\) describe cómo de rápido cambia el ángulo, y al multiplicarla por el radio, obtenemos la velocidad tangencial, que es la velocidad lineal del objeto a lo largo de la circunferencia.
Fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado o MRUV
Para que un objeto esté en MRUA, deben cumplirse las siguientes condiciones:
Aceleración Constante: La aceleración del objeto debe ser constante en magnitud y dirección y distinta de cero. Es decir, el cambio de velocidad por unidad de tiempo es el mismo en cualquier instante.
Trayectoria Rectilínea: La trayectoria es una línea recta sin desviaciones.
Con estas condiciones podemos empezar a definir las fórmulas que rigen el movimiento rectilineo uniforme variado desde primeros principios.
1. Ecuación de Velocidad en Función del Tiempo para el MRUA
Vamos a definir las fórmulas del MRUA desde primeros principios. Si el nivel de la matemática es avanzado para tu curso no te preocupes, simplemente quédate con las fórmulas finales que son las que emplearemos al resolver los ejercicios de MRUA.
Sabemos que la aceleración (\(a\)) es el cambio de velocidad (\(\Delta v\)) con respecto al tiempo (\(\Delta t\)):
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
Si la aceleración es constante, podemos reescribir esta ecuación en términos diferenciales:
\[ a = \frac{dv}{dt} \]
Integrando esta ecuación con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad en función del tiempo. Supongamos que la velocidad inicial es \(v_0\) cuando \(t = 0\):
\[ \int a \, dt = \int dv \]
\[ at + C = v \]
Donde \(C\) es la constante de integración. Evaluando la condición inicial (\(v = v_0\) cuando \(t = 0\)):
\[ v = v_0 + at \]
Esta es la ecuación de la velocidad en función del tiempo para un objeto en MRUA.
2. Ecuación de Posición en Función del Tiempo para el MRUA
Sabemos que la velocidad es el cambio de posición (\(\Delta x\)) con respecto al tiempo (\(\Delta t\)):
\[ v = \frac{dx}{dt} \]
Sustituyendo la ecuación de la velocidad que acabamos de deducir (\(v = v_0 + at\)):
\[ v_0 + at = \frac{dx}{dt} \]
Integrando esta ecuación con respecto al tiempo, obtenemos la posición en función del tiempo. Supongamos que la posición inicial es \(x_0\) cuando \(t = 0\):
\[ \int (v_0 + at) \, dt = \int dx \]
\[ v_0 t + \frac{1}{2}at^2 + C = x \]
Donde \(C\) es la constante de integración. Evaluando la condición inicial (\(x = x_0\) cuando \(t = 0\)):
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
Esta es la ecuación de la posición en función del tiempo para un objeto en MRUA.
3. Ecuación de Velocidad en Función de la Posición
Esta es una fórmula muy importante, porque nos permite calcular cualquier elemento del MRUA cuando no tenemos el tiempo como dato en el problema.
Para deducir la fórmula solo tenemos que combinar las ecuaciones anteriores. Sabemos que:
\[ v = v_0 + at \]
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
Primero, despejamos \(t\) de la ecuación de velocidad:
\[ t = \frac{v – v_0}{a} \]
Sustituyendo \(t\) en la ecuación de posición:
\[ x = x_0 + v_0 \left( \frac{v – v_0}{a} \right) + \frac{1}{2}a \left( \frac{v – v_0}{a} \right)^2 \]
Simplificando y operando la expresión obtenemos:
\[ v^2 = v_0^2 + 2a(x – x_0) \]
Esta es la ecuación de la velocidad en función de la posición para un objeto en MRUA. Fíjate que la posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
Estudio de las Gráficas en un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
Como en el MRU, estudiar las gráficas asociadas con el MRUA nos ayuda a entender mejor cómo se relacionan la posición, la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. Solamente inspeccionando visualmente la fórma de la curva podemos saber cómo es el movimiento.
Gráfica de Velocidad vs. Tiempo (\(v\)-\(t\))
– En el MRUA, la gráfica \(v\)-\(t\) es una línea recta que representa la aceleración \(a\). Puede tener una pendiente positiva o negativa, dependiendo de la dirección de la aceleración.
Gráfica v-t de un MRUA
– Si la pendiente es positiva, la aceleración es positiva (el objeto acelera).
– Si la pendiente es negativa, la aceleración es negativa (el objeto desacelera).
– La pendiente reprsenta la aceleración:
\[ \tan(\alpha) = \frac{v_f – v_0}{t} = a \]
Gráfica v-t de un MRUA. la pendiente es la aceleración
Gráfica de Posición vs. Tiempo (\(x\)-\(t\))
– En el MRUA, la gráfica \(x\)-\(t\) es una parábola, fíjate que la posición cambia cuadráticamente con el tiempo.
Es la representación de la función:
\[ x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
Diagrama x-t de un MRUA. La parábola con la curva abierta hacia arriba indica que la aceleración es positiva
– La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba si la aceleración es positiva y hacia abajo si la aceleración es negativa.
– La pendiente de la tangente en cualquier punto de la gráfica \(x\)-\(t\) es igual a la velocidad en ese instante.
En una gráfica x-t de un MRUA la pendiente en cualquier instante representa la velocidad instantánea
\[ \tan(\alpha) = \frac{dx}{dt} = v \text{ instantánea} \]
Gráfica de Aceleración vs. Tiempo (\(a\)-\(t\))
– En el MRUA, la gráfica \(a\)-\(t\) es una línea horizontal. Mientras exista un MRUA se cumple que \[ a = \text{constante} \]
La altura de la línea representa el valor de la aceleración constante. Si es positiva, el objeto está acelerando, si es negativa está frenando y si es nula entonces estamos frente a un movimiento rectilíneo sin aceleración, es decir: un MRU
Diagrama a-t en un MRUA. La aceleración es una recta paralela al eje t. En este caso la aceleración es negativa, lo que indica que el objeto está frenandose con aceleración uniforme
Caso Particular: Movimiento Rectilíneo Uniformemente retardado (MRUR)
El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado (MRUR) es un caso particular del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA). En el MRUR, la aceleración es constante pero negativa, lo que significa que la velocidad del objeto disminuye uniformemente con el tiempo.
Condiciones para el MRUR
Para que un objeto se mueva con MRUR, deben cumplirse las siguientes condiciones:
- Trayectoria Rectilínea: El objeto se mueve en una línea recta.
- Aceleración Negativa y Constante: La aceleración es constante y tiene un valor negativo. Esto implica que la velocidad del objeto está disminuyendo de manera uniforme a lo largo del tiempo.
Imaginemos un automóvil que está frenando mientras se aproxima a un semáforo en rojo. Cuando el conductor pisa el freno, el automóvil experimenta una desaceleración constante. Este es un ejemplo de MRUR, ya que la velocidad del automóvil disminuye de manera constante con el tiempo mientras se mueve en línea recta.
Fórmulas del MRUR
Las fórmulas del MRUR son iguales a las del MRUA, pero únicamente tomamos la aceleración con signo negativo (\(-a\)):
1. Ecuación de Velocidad en Función del Tiempo:
\[ v = v_0 – at \]
2. Ecuación de Posición en Función del Tiempo:
\[ x = x_0 + v_0 t – \frac{1}{2}at^2 \]
3. Ecuación de Velocidad en Función de la Posición:
\[ v^2 = v_0^2 – 2a(x – x_0) \]
Ejemplos de movimiento rectilíneo uniformemente variado
En una carrera de motos, Juan con su flamante motocicleta parte desde el reposo con aceleración constante y al cabo de 10 segundos alcanza la velocidad de 72 km/h.
Mantiene esa velocidad durante 2 minutos y, al llegar a la meta, frena uniformemente hasta parar recorriendo 200 m. Suponemos que el movimiento es en línea recta durante todo el recorrido.
a) ¿Qué tipos de movimientos hay durante las fases de la carrera?
b) ¿Cuál es la aceleración en la primera fase del movimiento?
c) ¿Cuál es el espacio que recorre mientras acelera?
d) ¿Cuál es la aceleración en la última fase?
e) ¿Cuál es el tiempo total en movimiento?
f) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
g) Dibujar los diagramas a-t y v-t
SOLUCIÓN
a) ¿Qué tipos de movimientos hay durante las fases de la carrera?
En esta carrera, Juan pasa por tres fases diferentes:
1. Fase de aceleración (MRUA): Parte desde el reposo con una aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 72 km/h en 10 segundos.
2. Fase de velocidad constante (MRU): Mantiene una velocidad constante de 72 km/h durante 2 minutos.
3. Fase de frenado (MRUA retardado): Frena uniformemente hasta detenerse, recorriendo una distancia de 200 m.
b) La aceleración en la primera fase del movimiento
Primero, convertimos la velocidad de 72 km/h a m/s:
\[ 72 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 20 \, \text{m/s} \]
Ahora, usamos la fórmula de la aceleración para MRUA:
\[ v_f = v_0 + a t \]
– \( v_f = 20 \, \text{m/s} \) (velocidad final)
– \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \) (velocidad inicial, ya que parte desde el reposo)
– \( t = 10 \, \text{s} \)
Despejamos la aceleración \( a \):
\[ 20 \, \text{m/s} = 0 \, \text{m/s} + a \cdot 10 \, \text{s} \]
\[ a = \frac{20 \, \text{m/s}}{10 \, \text{s}} = 2 \, \text{m/s}^2 \]
c) El espacio que recorre mientras acelera
Para calcular el espacio recorrido durante la aceleración, utilizamos la fórmula del MRUA:
\[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]
– \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \)
– \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \)
– \( t = 10 \, \text{s} \)
\[ s = 0 \, \text{m/s} \cdot 10 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 \cdot (10 \, \text{s})^2 \]
\[ s = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 100 \]
\[ s = 100 \, \text{m} \]
d) La aceleración en la última fase
Para la fase de frenado, utilizamos la fórmula:
\[ v_f^2 = v_0^2 + 2 a s \]
– \( v_f = 0 \, \text{m/s} \) (porque se detiene)
– \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \)
– \( s = 200 \, \text{m} \)
Despejamos la aceleración \( a \):
\[ 0 = (20 \, \text{m/s})^2 + 2 a \cdot 200 \, \text{m} \]
\[ 0 = 400 + 400 a \]
\[ -400 = 400 a \]
\[ a = -1 \, \text{m/s}^2 \]
El signo negativo indica que la aceleración es en sentido contrario al movimiento, es decir, es una desaceleración.
e) El tiempo total en movimiento
Sumamos los tiempos de cada fase:
1. Tiempo de aceleración (t1): 10 segundos.
2. Tiempo de velocidad constante (t2): 2 minutos = 120 segundos. ( dado en el enunciado)
3. Tiempo de frenado (t3): Para encontrar el tiempo de frenado, utilizamos la fórmula del MRUA:
\[ v_f = v_0 + a t \]
– \( v_f = 0 \, \text{m/s} \)
– \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \)
– \( a = -1 \, \text{m/s}^2 \)
Despejamos el tiempo \( t \):
\[ 0 = 20 \, \text{m/s} – 1 \cdot t \]
\[ t = \frac{20 \, \text{m/s}}{1 \, \text{m/s}^2} = 20 \, \text{s} \]
El tiempo total en movimiento es:
\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 + t_3 \]
\[ t_{\text{total}} = 10 \, \text{s} + 120 \, \text{s} + 20 \, \text{s} \]
\[ t_{\text{total}} = 150 \, \text{s} \]
f) Distancia total recorrida
Sumamos las distancias recorridas en cada fase:
1.Distancia de aceleración (s1): 100 m.
2. Distancia a velocidad constante (s2): Usamos la fórmula del MRU \( s = v \cdot t \):
\[ s_2 = 20 \, \text{m/s} \cdot 120 \, \text{s} = 2400 \, \text{m} \]
3. Distancia de frenado (s3): 200 m.
La distancia total recorrida es:
\[ s_{\text{total}} = s_1 + s_2 + s_3 \]
\[ s_{\text{total}} = 100 \, \text{m} + 2400 \, \text{m} + 200 \, \text{m} \]
\[ s_{\text{total}} = 2700 \, \text{m} \]
g) Diagramas a-t y v-t
Preguntas Frecuentes sobre el MRUA
Hemos creado estas preguntas frecuentes en formato de flashcards para ayudarte a estudiar sobre el MRUA. Utilízalas como tarjetas de estudio para retener la información y aprender de manera efectiva.
Instrucciones de Uso:
- Estudio Activo: Intenta responder cada pregunta antes de descubrir la respuesta.
- Repaso Continuo: Utiliza estas flashcards para estudiar y repasar conceptos siempre que lo necesites.
- Memorización Eficaz: Aprovecha las tarjetas para reforzar tu comprensión y retención de los conceptos clave.
¡Buena suerte en tu estudio!
1. ¿Qué significa MRUA?
MRUA significa Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, donde un objeto se mueve en línea recta con una aceleración constante.
2. ¿Qué significa que la aceleración sea positiva en un MRUA?
En un MRUA, que la aceleración sea positiva significa que la velocidad del objeto está aumentando con el tiempo. El objeto se está acelerando en la misma dirección de su movimiento.
3.¿Qué significa que la aceleración sea negativa en un MRUA?
En un MRUA, que la aceleración sea negativa significa que la velocidad del objeto está disminuyendo con el tiempo. El objeto se está desacelerando, es decir, la aceleración está en la dirección opuesta a su movimiento.
4. ¿Qué representa la pendiente en una gráfica de velocidad-tiempo en MRUA?
En una gráfica de velocidad-tiempo en un MRUA, la pendiente representa la aceleración del objeto. Si la pendiente es positiva, el objeto está acelerando; si es negativa, el objeto está desacelerando. La magnitud de la pendiente indica el valor de la aceleración constante.
5. ¿Cuál es la unidad de la aceleración en el Sistema Internacional de Unidades?
La aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado m/s2
6. ¿Qué tipo de movimiento tiene un objeto con aceleración cero?
Un objeto con aceleración cero tiene un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). En este tipo de movimiento, el objeto se desplaza en línea recta a una velocidad constante, sin cambiar su rapidez ni su dirección.
7. ¿Cuál es la diferencia principal entre MRU y MRUA?
En MRU la velocidad es constante, mientras que en MRUA la velocidad cambia de manera constante debido a la aceleración.
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José Luis Bernal
Estudiante de Ciencias Físicas en la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y creador de AulaQ
Bibliografía
- Curso de Física COU: A. peña Sainz. ISBN 9788476155196
- Física: Tipler Mosca 6 Edición ISBN 8429144293