¿Listo para entender mejor los vectores de posición y desplazamiento? En esta guía te explicamos de forma sencilla qué son, cómo se aplican y te damos ejemplos prácticos. Además, hemos creado unas flashcards o tarjetas de estudio para que puedas repasar y memorizar los conceptos clave fácilmente. ¡Vamos a aprender juntos!
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¿Qué es el Vector de Posición?
El vector de posición es una representación matemática que describe donde se encuentra un punto en el espacio con respecto a un origen de coordenadas. Este vector se denota comúnmente como r y sus componentes son las coordenadas cartesianas del punto P, es decir, \( r = (x, y, z) \). Este vector se define con su origen en el punto de referencia y su extremo en la posición del punto P en un instante determinado.
La posición P del móvil está determinada por el vector de posición r
La importancia del vector de posición radica en su capacidad para describir con precisión la localización de un objeto en cualquier momento. Si las coordenadas del punto P permanecen constantes, el objeto está en reposo. Sin embargo, cuando las coordenadas varían con el tiempo, el objeto se mueve, trazando una trayectoria en el espacio.
Coordenadas y Trayectorias en el Espacio
Al movernos en el espacio tridimensional, la trayectoria de un punto P se define por las sucesivas posiciones que ocupa en el tiempo. Matemáticamente, podemos representar esta trayectoria mediante una función vectorial de tiempo \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \). En un plano bidimensional, esta función puede simplificarse a \( r(t) = (x(t), y(t)) \).
Las distintas posiciones que va tomando el punto móvil forman la trayectoria
Por ejemplo, consideremos un punto P que se mueve en una trayectoria plana descrita por \( y = f(x) \). Aquí, la posición del punto cambia conforme a una función de la coordenada x. La representación vectorial de la posición en cualquier instante t sería \( r(t) = x(t)i + y(t)j \), donde i y j son los vectores unitarios en las direcciones x e y, respectivamente.
Supongamos que un objeto se mueve en una trayectoria definida por las ecuaciones \( x(t) = 3t \) y \( y(t) = 2t^2 \). El vector de posición en cualquier instante t sería \( r(t) = 3ti + 2t^2j \).
Para hallar el módulo de este vector, utilizamos la fórmula:
\[ |r(t)| = \sqrt{x^2(t) + y^2(t)} =\]
\[\sqrt{(3t)^2 + (2t^2)^2} = \sqrt{9t^2 + 4t^4} \]
El Módulo es la magnitud del vector de posición en función del tiempo, describiendo cómo varía la distancia del objeto respecto al origen. En otras palabras, nos dice cuánto de largo es el vector en función del tiempo.
¿Qué es el Vector de Desplazamiento?
El vector de desplazamiento, por otro lado, describe el cambio de posición de un punto P entre dos instantes diferentes. Si tenemos las posiciones inicial y final del punto P, denotadas como \( r_0 = (x_0, y_0, z_0) \) y \( r_1 = (x_1, y_1, z_1) \), el vector de desplazamiento \( \Delta r \) se calcula como la diferencia entre estos dos vectores:
\[ \Delta r = r_1 – r_0 = \]
\[(x_1 – x_0)i + (y_1 – y_0)j + (z_1 – z_0)k \]
El vector desplazamiento une la posición inicial P0 con la posición final P1
Es crucial destacar que el vector de desplazamiento es independiente de la trayectoria seguida por el objeto. Sin importar si el objeto se mueve en línea recta o describe una trayectoria compleja, el vector de desplazamiento solo depende de las posiciones inicial y final.
Las diferentes trayectorias para un solo desplazamiento. El vector desplazamiento solo depende de la posición inicial y final, no de la trayectoria seguida.
Cálculo del vector Desplazamiento
Para ilustrar el cálculo del vector de desplazamiento, consideremos un punto que se mueve desde el punto \( P_0(2, 3, 5) \) a \( P_1(5, 7, 9) \). El vector de desplazamiento se calcula como:
\[ \Delta r = (5 – 2)i + (7 – 3)j + (9 – 5)k =\]
\[= 3i + 4j + 4k \]
El módulo del vector de desplazamiento, que representa la distancia entre los dos puntos, es:
\[ |\Delta r| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 4^2} =\]
\[=\sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \]
Espacio Recorrido vs Desplazamiento Recorrido
Es fundamental diferenciar entre el espacio recorrido \( \Delta s \) y el desplazamiento recorrido \( \Delta r \) . El espacio recorrido es la distancia total que sigue la trayectoria del móvil, mientras que el desplazamiento recorrido es la distancia en línea recta entre el punto inicial y final.
Vamos a ilustralo con un ejemplo sencillo: Si lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba, el espacio recorrido \( \Delta s \) coincide con el desplazamiento \( \Delta r \) mientras la piedra sube. Sin embargo, cuando la piedra comienza a bajar, el desplazamiento disminuye mientras el espacio recorrido sigue aumentando. Al regresar al punto de lanzamiento, el desplazamiento es cero, pero el espacio recorrido es la distancia de subida mas la distancia de bajada.
En un movimiento que describe curvas, el espacio recorrido es mayor que el desplazamiento
Ejemplos de Aplicación Vector de Posición y vector Desplazamiento
Ejercicio1: Vector de Posición y Trayectoria
1.El movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones paramétricas:
\[ x = t \]
\[ y = 2t – 1 \]
\[ z = t + 1 \]
donde \(x\), \(y\) y \(z\) se miden en metros y \(t\) en segundos.
a) La posición de la partícula en cualquier instante
b) La posición inicial de la partícula
c) La posición de la partícula a los 5 segundos
d) Distancia del sistema de referencia (origen) en ese instante
e) ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Solución:
Para encontrar la posición de la partícula en cualquier instante \(t\), utilizamos las ecuaciones dadas. El vector de posición \(\vec{r}(t)\) se expresa en términos de los vectores unitarios \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) y \(\hat{k}\):
\[ \vec{r}(t) = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \]\[ \vec{r}(t) = t \hat{i} + (2t – 1) \hat{j} + (t + 1) \hat{k} \]
b) La posición inicial de la partícula
Para encontrar la posición inicial de la partícula, evaluamos el vector de posición \(\vec{r}(t)\) en \(t = 0\):
\[ \vec{r}(0) = 0 \hat{i} + (2 \cdot 0 – 1) \hat{j} + (0 + 1) \hat{k} \]\[ \vec{r}(0) = -\hat{j} + \hat{k} \]\[ \vec{r}(0) = (0, -1, 1) \]
c) La posición de la partícula a los 5 segundos
Para encontrar la posición de la partícula a los 5 segundos, evaluamos el vector de posición \(\vec{r}(t)\) en \(t = 5\):
\[ \vec{r}(5) = 5 \hat{i} + (2 \cdot 5 – 1) \hat{j} + (5 + 1) \hat{k} \]\[ \vec{r}(5) = 5 \hat{i} + 9 \hat{j} + 6 \hat{k} \]\[ \vec{r}(5) = (5, 9, 6) \]
d) Distancia del sistema de referencia (origen) en ese instante
Para encontrar la distancia de la partícula desde el origen en \(t = 5\), utilizamos la fórmula de la distancia en el espacio tridimensional:
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]
Para \(\vec{r}(5) = (5, 9, 6)\):
\[ d = \sqrt{5^2 + 9^2 + 6^2} \]\[ d = \sqrt{25 + 81 + 36} \]\[ d = \sqrt{142} \]\[ d \approx 11.92 \, \text{metros} \]
e) ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son:
\[ x = t \]\[ y = 2t – 1 \]\[ z = t + 1 \]
Para poner la trayectoria en forma continua, despejamos \(t\) en cada una de las ecuaciones y las igualamos:
1. Despejamos \(t\) de la ecuación \(x = t\):
\[ t = x \]
2. Sustituimos \(t\) en la ecuación \(y = 2t – 1\):
\[ y = 2x – 1 \]
3. Sustituimos \(t\) en la ecuación \(z = t + 1\):
\[ z = x + 1 \]
Entonces, la forma continua de la ecuación es:
\[ \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z – 1}{1} \]
Esto representa la ecuación de una recta en el espacio.
Vector Director
La dirección del movimiento viene dada por el vector director \(\vec{u} = (1, 2, 1)\), que se obtiene directamente de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria.
a) La posición inicial
La posición inicial de la partícula corresponde al tiempo \(t = 0\).
\[ x(0) = 2 – 0 = 2 \]\[ y(0) = 0^2 = 0 \]
Por lo tanto, el vector de posición inicial es:
\[ \vec{r}(0) = 2\hat{i} + 0\hat{j} = (2, 0) \]
b) La posición 4 segundos después
Para encontrar la posición de la partícula 4 segundos después, evaluamos las ecuaciones en \(t = 4\).
\[ x(4) = 2 – 4 = -2 \]\[ y(4) = 4^2 = 16 \]
Por lo tanto, el vector de posición a los 4 segundos es:
\[ \vec{r}(4) = -2\hat{i} + 16\hat{j} = (-2, 16) \]
c) Desplazamiento en ese intervalo
El desplazamiento es la diferencia entre el vector de posición en \(t = 4\) y el vector de posición en \(t = 0\).
\[ \vec{r}_{\text{desplazamiento}} = \vec{r}(4) – \vec{r}(0) \]\[ \vec{r}_{\text{desplazamiento}} = (-2\hat{i} + 16\hat{j}) – (2\hat{i} + 0\hat{j}) \]
\[ \vec{r}_{\text{desplazamiento}} = (-2 – 2)\hat{i} + (16 – 0)\hat{j} \]
\[ \vec{r}_{\text{desplazamiento}} = -4\hat{i} + 16\hat{j} \]
Por lo tanto, el vector de desplazamiento es:
\[ \vec{r}_{\text{desplazamiento}} = (-4, 16) \]
d) Ecuación de la trayectoria
Para encontrar la ecuación de la trayectoria, eliminamos el parámetro \(t\) de las ecuaciones \(x = 2 – t\) y \(y = t^2\).
1. Despejamos \(t\) de la ecuación \(x = 2 – t\):
\[ t = 2 – x \]
2. Sustituimos \(t = 2 – x\) en la ecuación \(y = t^2\):
\[ y = (2 – x)^2 \]
Por lo tanto, la ecuación de la trayectoria es:
\[ y = (2 – x)^2 \]
Representación de la parábola
Para representar la parábola, damos valores a \(t\) desde 0 hasta 4, y calculamos los valores correspondientes de \(x\) e \(y\).
|
|
|
|---|---|---|
| 0 | 2 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 4 |
| 3 | -1 | 9 |
| 4 | -2 | 16 |
Ecuación de la trayectoria (rojo) y vector desplazamiento (azul)
Código para dibujar en GeoGebra
Si quieres graficar esta solución en GeoGebra sigue estos pasos detallados:
Dibuja los puntos: Escribe los siguientes comandos en la barra de entrada:
Point (2, 0), (1, 1), (0, 4), (-1, 9), (-2, 16)
Dibuja la curva: Escribe el siguiente comando en la barra de entrada:
Curve (2 – t, t^2, t, 0, 4)
Ejercicio 2: Vector de Posición y Desplazamiento
Un punto se mueve en un plano según las ecuaciones:
\[ x = 2 – t \]\[ y = t^2 \]
donde \(x\) e \(y\) se miden en metros y \(t\) en segundos.
a) La posición inicial
b) La posición 4 segundos después
c) Desplazamiento en ese intervalo
d) Ecuación de la trayectoria
Preguntas Frecuentes sobre Vectores de Posición y Desplazamiento
Hemos creado estas preguntas frecuentes en formato de flashcards para ayudarte a estudiar sobre vectores de posición y desplazamiento. Utilízalas como tarjetas de estudio para retener la información y aprender de manera efectiva.
Instrucciones de Uso:
- Estudio Activo: Intenta responder cada pregunta antes de descubrir la respuesta.
- Repaso Continuo: Utiliza estas flashcards para estudiar y repasar conceptos siempre que lo necesites.
- Memorización Eficaz: Aprovecha las tarjetas para reforzar tu comprensión y retención de los conceptos clave.
¡Buena suerte en tu estudio!
1. ¿Qué es el vector de posición?
El vector de posición es un vector que define la posición de un punto en el espacio con respecto a un origen.
2. ¿Qué es el vector de desplazamiento?
El vector de desplazamiento es la diferencia entre la posición final y la posición inicial de un punto.
3. ¿Cómo se calcula el vector de desplazamiento?
Se calcula como \(\Delta \vec{r} = \vec{r}(1) – \vec{r}(0)\), donde \(\vec{r}(1)\) es la posición final y \(\vec{r}(0)\) es la posición inicial.
4. ¿Cuál es la diferencia entre el vector de posición y el vector de desplazamiento?
El vector de posición indica la ubicación de un punto en el espacio, mientras que el vector de desplazamiento indica el cambio de posición de un punto.
5. ¿En qué unidades se mide el vector de posición y el vector desplazamiento?
Ambos se miden en unidades de longitud, como metros (m), centímetros (cm) o kilómetros (km).
Pero como utilizamos Unidades del S.I. debemos medirlo en metros
6. ¿Es la trayectoria lo mismo que el vector de desplazamiento?
No, la trayectoria es el camino recorrido por un punto en el espacio, mientras que el vector de desplazamiento es la distancia y dirección desde la posición inicial a la final.
En un movimiento que describe curvas, el espacio recorrido es mayor que el desplazamiento
7. ¿Puede el vector de desplazamiento ser negativo o nulo?
No, no puede ser negativo, pero puede tener componentes negativas dependiendo de la dirección del desplazamiento en el sistema de coordenadas.
En cambio, si puede ser nulo. Recordemos que el vector desplazamiento mide la diferencia entre la posición inicial y final. Si ambas posiciones son las mismas ( como el ejemplo de lanzamiento vertical), el vector desplazamiento es nulo.
8. ¿Puede el vector de desplazamiento tener una dirección diferente a la trayectoria seguida por un objeto?
Sí, el vector de desplazamiento solo muestra la dirección y distancia directa entre dos puntos, no necesariamente el camino seguido.
Las diferentes trayectorias para un solo desplazamiento. El vector desplazamiento solo depende de la posición inicial y final, no de la trayectoria seguida.
Ver mas Teoría de Cinemática
José Luis Bernal
Estudiante de Ciencias Físicas en la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y creador de AulaQ
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Referencias
- Alonso Fórmulas Física y Química de 1º Bachillerato
- Geogebra Descargar aplicación.
- Vector de Posición | Vector Desplazamiento Wikipedia
Bibliografía
- Curso de Física COU: A. peña Sainz. ISBN 9788476155196
- Física: Tipler Mosca 6 Edición ISBN 8429144293