Entendiendo la Velocidad media y velocidad Instantánea

La velocidad instantánea es una idea fascinante que surge cuando consideramos intervalos de tiempo cada vez más pequeños para calcular la velocidad media. Si tomamos la velocidad media en intervalos cada vez más pequeños, esta se va aproximando cada vez más a la pendiente de la tangente en el instante \(t\).

La velocidad media de cada intervalo es la pendiente de la linea de cada intervalo (azul) La secuencia de intervalos de tiempo cada vez mas pequeños esta pendiente se aproximan a la pendiente de la recta tangentea la curva en el punto t1. Esta pendiente se denomina velocidad instantánea

Imaginemos que estamos observando el movimiento de una partícula en una trayectoria curva. Podemos calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo, digamos, de un segundo. Si reducimos ese intervalo de tiempo a medio segundo, obtenemos una velocidad media más precisa para ese instante específico. Al seguir reduciendo el intervalo de tiempo a milisegundos, microsegundos, y así sucesivamente, la velocidad media se aproxima a la velocidad exacta en un instante particular t.

Cuando el \(\Delta t\) medido es infinitesimal, \(\Delta x\) se aproxima a cero, y podemos afirmar que la velocidad instantánea es el límite de la relación \(\Delta x / \Delta t\) cuando \(\Delta t\) tiende a cero. Matemáticamente, se expresa como:

\[ v_{inst} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Como sabemos de las clases de cálculo, esta expresión nos dice que la velocidad instantánea no es mas que la derivada de la posición con respecto al tiempo:

\[ v_{inst} = \frac{dx}{dt} \]

En términos geométricos, la velocidad instantánea representa la pendiente de la recta tangente en un punto, y la pendiente  puede ser positiva, negativa o nula.

Si la pendiente es positiva, la partícula se mueve en la dirección positiva del eje x ( como lafigura) ; si es negativa, se mueve en la dirección negativa; y si es nula, la partícula está en reposo en ese instante.

En definitiva, la velocidad instantánea se define como la velocidad que tiene una partícula en un punto específico del espacio en un instante de tiempo determinado. Es una medida de cuán rápido se mueve la partícula en ese preciso momento, sin considerar su movimiento anterior o posterior

 Velocidad Instantánea en Términos del Vector Unitario

Como con la velocidad media, si estamos trabajando con vectores, definimos el vector de velocidad instantánea como el límite del vector de velocidad media (\(\Delta \vec{r} / \Delta t\)) cuando \(\Delta t\) tiende a cero. Esto se expresa como:

\[ \vec{v}_{inst} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \]

El vector de velocidad instantánea es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo:

\[ \vec{v}_{inst} = \frac{d\vec{r}}{dt} \]

Este vector describe no solo la rapidez con la que se mueve la partícula, sino también la dirección de su movimiento. El módulo de este vector es la velocidad escalar y apunta en la dirección del movimiento de la partícula a lo largo de la línea tangente a la curva.

Para expresar el vector desplazamiento en componentes unitarias en dos dimensiones, tenemos:

\[ \vec{r} = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} \]

La derivada de este vector respecto al tiempo, expresando primero el límite, es:

\[ \vec{v}_{inst} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(x(t + \Delta t) – x(t))\hat{i} + (y(t + \Delta t) – y(t))\hat{j}}{\Delta t} \]

Esto se simplifica a:

\[ \vec{v}_{inst} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} \]

Tomando intervalos de tiempo mas pequeños, el vector velocidad instantánea se aproxima a la tangente a la curva en el punto P1

Cálculo del Módulo de la Velocidad Instantánea

El módulo de la velocidad instantánea, que es la velocidad escalar, se calcula como:

\[ |\vec{v}_{inst}| = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \]

Este cálculo nos da la magnitud de la velocidad en cualquier instante específico y es una medida de qué tan rápido se está moviendo la partícula sin considerar la dirección. Es importante entender que aunque el vector de velocidad instantánea nos da tanto la magnitud como la dirección del movimiento, el módulo solo nos proporciona la rapidez de la partícula.

En resumen, la velocidad media y la velocidad instantánea son conceptos fundamentales en cinemática que describen cómo cambia la posición de una partícula con el tiempo. La velocidad media proporciona una medida general sobre un intervalo de tiempo, mientras que la velocidad instantánea proporciona una medida precisa en un momento específico.