El dominio de una función nos dice para qué valores de la variable independiente (x) la función está definida. En otras palabras, nos indica los valores de x que podemos «introducir» en la función sin que ocurran cosas extrañas, como divisiones por cero o raíces cuadradas de números negativos.

Vamos ha estudiar cada función y ver qué valores encontramos.

Función 1: $$f(x) = \frac{x + 1}{x + 3}$$

Esta función es una fracción. Las fracciones tienen un punto débil: el denominador no puede ser cero. Entonces, nuestra misión es encontrar los valores de x que harían que el denominador (x + 3) se convierta en cero.

Resolvemos la ecuación:

$$x + 3 = 0$$

$$x = -3$$

El valor x = -3 es el número que si lo sustituimos hace cero el denominador. Por lo tanto, el dominio de la función 1 es todos los números reales excepto -3. En notación matemática:

$$\text{Dominio de } f(x) = \mathbb{R} – \{-3\}$$

Función 2: $$f(x) = \frac{x + 1}{x^2 – 1}$$

Otra fracción, pero esta vez, el denominador es un poco más elaborado: x² – 1. Cuando encontremos un denominador de este tipo debemos  factorizarlo:

$$x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1)$$

Al factorizarlo vemos que el denominador se convierte en cero si y solo si x = -1 o x = 1. Estos son los valores prohibidos para esta función. Por lo tanto, el dominio de la función 2 es:

$$\text{Dominio de } f(x) = \mathbb{R} – \{-1, 1\}$$

Función 3: $$f(x) = \sqrt{4 – x^2}$$

En las raices cuadradas la regla es que no podemos tener números negativos dentro de la raíz. Entonces, necesitamos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz (4 – x²) sea mayor o igual a cero:

$$4 – x^2 \ge 0$$

Resolvemos la inecuación:

$$x^2 \le 4$$

$$-2 \le x \le 2$$

El dominio de la función 3 es el intervalo cerrado [-2, 2].