Calcula el peso de una persona de 90 kg de masa:
a) Cuando está al nivel del mar.
b) Cuando sube a un avión y vuela a 5800 m de altura.
Datos:
g0 = 9,8 m/s2
RT = 6,4 ⋅ 106 m
Calcula el peso de una persona de 90 kg de masa
Calcula el peso de una persona de 90 kg de masa:
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El peso de un objeto se define como la fuerza con la que la gravedad de la Tierra atrae a ese objeto hacia su centro. Matemáticamente, se expresa como el producto de la masa del objeto y la aceleración debida a la gravedad en ese lugar.
\[ P = m \cdot g \]
a) Peso al nivel del mar:
Usamos la fórmula anterior:
\[ P = m \cdot g \]
Para una persona de 90 kg de masa, y considerando \( g_0 = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) como la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar, sustituimos los valores:
\[ P_{\text{nivel del mar}} = 90 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \]
\[ P_{\text{nivel del mar}} = 882 \, \text{N} \]
b) Peso a 5800 m de altura:
Cuando la persona sube a un avión y alcanza una altura de 5800 m, la aceleración debida a la gravedad no es la misma que al nivel del mar. Esto se debe a que la gravedad disminuye con la altura debido al aumento de la distancia desde el centro de la Tierra.
Para calcular el peso a esta altura, necesitamos tener en cuenta la relación entre la gravedad y la altura, que está dada por la siguiente expresión:
\[ g = \dfrac{g_0 \cdot RT^2}{(RT + h)^2} \]
– \( g \) es la aceleración debida a la gravedad a una altura \( h \),
– \( g_0 \) es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar,
– \( RT \) es el radio de la Tierra, y
– \( h \) es la altura sobre la superficie de la Tierra.
Sustituyendo los valores conocidos:
\[ g = \dfrac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{(6.4 \times 10^6 + 5800)^2} \]
\[ g \approx 9.748 \, \text{m/s}^2 \]
Una vez obtenida la aceleración debida a la gravedad a esta altura, podemos calcular el peso utilizando la misma fórmula:
\[ P_{\text{altura}} = 90 \, \text{kg} \times 9.748 \, \text{m/s}^2 \]
\[ P_{\text{altura}} \approx 880.4 \, \text{N} \]
De dónde sale la expresión: \( g = \frac{g_0 \cdot RT^2}{(RT + h)^2} \)
Para derivar la expresión \( g = \frac{g_0 \cdot RT^2}{(RT + h)^2} \) desde los primeros principios, comenzamos con la ley de la gravitación universal de Newton:
\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]
– \( F \) es la fuerza gravitacional entre dos masas \( m_1 \) y \( m_2 \).
– \( G \) es la constante de gravitación universal.
– \( r \) es la distancia entre las dos masas.
En nuestro caso, queremos encontrar la aceleración gravitacional \( g \) a una altura \( h \) sobre la superficie de la Tierra. Podemos relacionar la fuerza gravitacional con la masa de un objeto y la aceleración gravitacional utilizando la segunda ley de Newton:
\[ F = m \cdot g \]
Ahora, consideremos la relación entre la distancia desde el centro de la Tierra hasta un punto en su superficie y la distancia desde el centro de la Tierra hasta un punto a una altura \( h \) sobre su superficie. Denotamos \( RT \) como el radio de la Tierra y \( r \) como la distancia desde el centro de la Tierra hasta el punto en su superficie, entonces:
\[ r = RT \]
Para el punto a una altura \( h \) sobre la superficie, la distancia desde el centro de la Tierra sería \( r + h \).
Ahora, utilizando la ley de gravitación universal y la segunda ley de Newton, podemos establecer la relación entre la aceleración gravitacional al nivel del mar (\( g_0 \)) y la aceleración gravitacional a una altura \( h \) (\( g \)):
\[ m \cdot g = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(RT)^2}} \]
\[ m \cdot g_0 = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(RT + h)^2}} \]
Finalmente, despejamos \( g \) de la segunda ecuación para obtener:
\[ g = \frac{{g_0 \cdot RT^2}}{{(RT + h)^2}} \]
Esta es la expresión para la aceleración gravitacional a una altura \( h \) sobre la superficie de la Tierra, derivada desde los primeros principios de la ley de la gravitación universal y la segunda ley de Newton.