Para calcular A · B · C, realizamos la multiplicación de matrices de izquierda a derecha.

Primero, calculamos A · B:

$$ A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 2 \\ x + 2 & 2y + 2 \end{bmatrix} $$

Luego, multiplicamos el resultado por C:

$$ (A \cdot B) \cdot C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ x + 2 & 2y + 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x + 2 \\ -x + 2y  \end{bmatrix} $$

Cálculo de Aᵀ · C

Primero, encontramos la transpuesta de A, que se obtiene intercambiando filas por columnas:

$$ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$

Luego, multiplicamos Aᵀ por C:

$$ A^T \cdot C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} $$

Para que A · B · C = Aᵀ · C, las matrices resultantes deben ser iguales. Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \begin{cases} -x + 2 = 0 \\ -x + 2y = 2 \end{cases} $$

De la primera ecuación, podemos despejar x:

$$ x = 2 $$

Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación, obtenemos:

$$ -2 + 2y  = 2 $$

Simplificando la ecuación:

$$ 2y = 4 $$

Finalmente, despejando y:

$$ y = 2 $$

Curiosidad

La transpuesta de una matriz tiene propiedades interesantes. Por ejemplo, la transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas en orden inverso: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Además, la transpuesta de la transpuesta de una matriz es la matriz original: (Aᵀ)ᵀ = A.