Primero vamos a explicar brevemente qué es el Método de Gauss y cómo se implementa.

El método de Gauss es una técnica para transformar una matriz en una forma más simple, llamada forma escalonada. Esto se logra mediante operaciones elementales de fila, que incluyen:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.

La forma escalonada resultante nos permite determinar fácilmente el rango de la matriz, que es el número de filas no nulas. El método de Gauss es muy útil porque nos permite trabajar con matrices de cualquier tamaño de manera sistemática y eficiente.

Aplicamos el Método de Gauss a Nuestra Matriz 4×4

$$A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 6 \end{bmatrix}$$

1. Primer paso: Hacemos cero el primer elemento de la segunda fila restando la mitad de la primera fila a la segunda fila:

$$ \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 6 \end{bmatrix} $$

2. Segundo paso: Hacemos cero el primer elemento de la cuarta fila restando 3/2 veces la primera fila a la cuarta fila:

$$ \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix} $$

3. Tercer paso: Hacemos cero el segundo elemento de la tercera fila restando 2/3 veces la segunda fila a la tercera fila, y hacemos cero el segundo elemento de la cuarta fila restando la segunda fila a la cuarta fila:

$$ \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

4. Cuarto paso: La matriz resultante está en forma escalonada. Observamos que hay tres filas no nulas. Por lo tanto, el rango de la matriz A es 3.

Curiosidad

El rango de una matriz tiene una interpretación geométrica interesante. Representa la dimensión del subespacio generado por las filas (o columnas) de la matriz. En nuestro caso, el rango 3 significa que las filas de la matriz A generan un subespacio tridimensional.