SOLUCIÓN: El trabajo necesario para trasladar el satélite de una órbita a la otra es de \( 2.6 \times 10^9 \) julios.

SOLUCIÓN DETALLADA:

Para resolver este problema, primero calculamos la energía mecánica correspondiente a la órbita inicial y final del satélite.

– Energía mecánica correspondiente a la órbita inicial:
\[ E_1 = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{GMm}{r_1} \]

Dado que la velocidad de un satélite en órbita circular se relaciona con el radio de la órbita mediante \( v^2 = \frac{GM}{r} \)  Ver nota al final*, podemos reemplazar \( v^2 \) en la ecuación de la energía mecánica para obtener:
\[ E_1 = \frac{1}{2} \frac{GMm}{r_1} – \frac{GMm}{r_1} = -\frac{1}{2} \frac{GMm}{2R_T} \]

– Energía mecánica correspondiente a la órbita final:
\[ E_2 = \frac{1}{2} m v^2 – \frac{GMm}{r_2} \]

Reemplazando \( v^2 \) por \( \frac{GM}{r} \), obtenemos:
\[ E_2 = \frac{1}{2} \frac{GMm}{r_2} – \frac{GMm}{r_2} = -\frac{1}{2} \frac{GMm}{3R_T} \]

Ahora, calculamos el trabajo realizado, que es la diferencia entre la energía mecánica de la órbita final y la inicial:
\[ \text{Trabajo realizado} = E_2 – E_1 = \left(-\frac{1}{2R_T}\right) GMm \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{12R_T}\right) GMm \]

Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
\[ \text{Trabajo realizado} = \left(\frac{1}{12 \times 6.4 \times 10^6 \, \text{m}}\right) (6.67 \times 10^{-11} \, \text{m}^3/\text{kg s}^2) (500 \, \text{kg}) = 2.6 \times 10^9 \, \text{J} \]

Por lo tanto, el trabajo necesario para trasladar el satélite de una órbita a otra es de \( 2.6 \times 10^9 \) julios.

Cuando movemos un objeto orbital de una órbita baja a una más alta, necesitamos darle más energía. Esto se debe a que al moverlo más lejos de la Tierra, su energía potencial gravitatoria aumenta. En un sistema orbital, la energía total se conserva, así que al aumentar la energía potencial, la energía cinética, y por lo tanto la velocidad, deben disminuir. Para mantener la energía total constante, necesitamos suministrar energía adicional al objeto. Esto se hace aplicando fuerza externa contra la gravedad de la Tierra, lo que requiere trabajo adicional

Nota final:

La fuerza centrípeta (\( F_c \)) necesaria para mantener al satélite en órbita circular está dada por la fórmula \( F_c = \frac{mv^2}{r} \), donde \( m \) es la masa del satélite, \( v \) es la velocidad del satélite y \( r \) es el radio de la órbita.

La fuerza gravitatoria (\( F_g \)) entre el satélite y la Tierra está dada por la ley de gravitación universal: \( F_g = \frac{GMm}{r^2} \), donde \( G \) es la constante gravitacional, \( M \) es la masa de la Tierra y \( r \) es la distancia entre el satélite y el centro de la Tierra.

Igualando estas dos fuerzas hacemos que el cuerpo permanezca en órbita, asi que tenemos:

\[ \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \]

Ahora, podemos despejar \( v^2 \) dividiendo ambos lados de la ecuación por \( m \):

\[ v^2 = \frac{GM}{r} \]