Se nos pide calcular la siguiente integral definida:

$$\int_{-1}^{3} (x^2 + 6x + 3) dx$$

Utilizaremos el método de las sumas de Riemann para aproximar el valor de esta integral. Este método divide el intervalo de integración en pequeños subintervalos y aproxima el área bajo la curva en cada subintervalo mediante un rectángulo. Al sumar las áreas de todos los rectángulos, obtenemos una aproximación del área total bajo la curva, que es el valor de la integral definida.

1. División del Intervalo:
Dividimos el intervalo [-1, 3] en n subintervalos de igual longitud. La longitud de cada subintervalo es:

$$\Delta x = \frac{3 – (-1)}{n} = \frac{4}{n}$$

2. Puntos de Muestreo:
Elegimos un punto de muestreo x_i^* en cada subintervalo. En este caso, utilizaremos el extremo derecho de cada subintervalo como punto de muestreo:

$$x_i^* = -1 + i \Delta x = -1 + \frac{4i}{n}$$

3.Construcción de las Sumas de Riemann
La suma de Riemann para esta integral es:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$$

Sustituyendo la función f(x) y los puntos de muestreo, obtenemos:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \left[ \left(-1 + \frac{4i}{n}\right)^2 + 6 \left(-1 + \frac{4i}{n}\right) + 3 \right] \frac{4}{n}$$

4. Expandimos y simplificamos la expresión dentro del sumatorio:

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{16i^2}{n^2} – \frac{8i}{n} + 1 – 6 + \frac{24i}{n} + 3 \right) \frac{4}{n}$$

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{16i^2}{n^2} + \frac{16i}{n} – 2 \right) \frac{4}{n}$$

$$S_n = \frac{64}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 + \frac{64}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i – \frac{8}{n} \sum_{i=1}^{n} 1$$

5. Aplicación de las Fórmulas de Gauss:
Utilizamos las fórmulas de Gauss para las sumas de cuadrados y de números naturales:

$$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$$

Sustituyendo estas fórmulas en la expresión de $S_n$, obtenemos:

$$S_n = \frac{64}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{64}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} – \frac{8}{n} \cdot n$$

6. Cálculo del Límite al Infinito:
Finalmente, calculamos el límite de $S_n$ cuando n tiende a infinito:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{64}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} + \frac{64}{2} \cdot \frac{n+1}{n} – 8 \right)$$

Simplificando y evaluando el límite:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{64}{3} + 32 – 8 = \frac{136}{3}$$

El valor de la integral definida es:

$$\int_{-1}^{3} (x^2 + 6x + 3) dx = \frac{136}{3}$$