Para calcular la diferencia de potencial necesaria para aumentar la velocidad de un catión de plata (Ag+) desde 10 m/s hasta 1000 m/s, primero necesitamos determinar la masa del catión de plata en unidades del Sistema Internacional (SI).

Dado que la masa atómica del Ag es aproximadamente 107,9 u (unidades de masa atómica), podemos convertirlo a kilogramos utilizando la relación 1 u = 1,661 × 10^-27 kg:

\[ m(Ag^+) = 107.9 \, u \times (1.661 \times 10^{-27} \, \text{kg/u}) \]
\[ m(Ag^+) = 1.79 \times 10^{-25} \, \text{kg} \]

Ahora, recordemos que el incremento en la energía cinética del catión (Ec) se relaciona con el trabajo realizado sobre él a través de la diferencia de potencial (ΔV).

Para entenderlo mejor, consideremos que la fuerza neta que realiza trabajo sobre el catión de plata es la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico creado por la diferencia de potencial $\mathrm{}$ΔV. En el caso de fuerzas conservativas, como la fuerza eléctrica en este escenario, el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de energía potencial eléctrica, que, en este caso, se convierte en cambio de energía cinética del catión.

Es decir, estamos aplicando el mismo principio que se utiliza en dinámica al utilizar el teorema trabajo-energía cinética

Esta relación se expresa mediante la ecuación:

\[ \Delta \text{Ec} = -q \cdot \Delta V \]

– \( \Delta \text{Ec} \) es el cambio en la energía cinética.
– \( q \) es la carga del catión de plata (\( 1.602 \times 10^{-19} \) C).
– \( \Delta V \) es el cambio en el potencial eléctrico que buscamos calcular.

Despejando \( \Delta V \) de la ecuación anterior, obtenemos:

\[ \Delta V = -\frac{\Delta \text{Ec}}{q} \]

Sustituyendo los valores dados:

\[ \Delta V = -\frac{\Delta \text{Ec}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}} \]

Dado que el cambio en la energía cinética del catión es igual a su energía cinética final menos su energía cinética inicial, podemos calcularlo como:

\[ \Delta \text{Ec} = \frac{1}{2} m(v_f^2 – v_i^2) \]

Sustituyendo los valores dados (\( m = 1.79 \times 10^{-25} \, \text{kg} \), \( v_f = 1000 \, \text{m/s} \) y \( v_i = 10 \, \text{m/s} \)):

\[ \Delta \text{Ec} = \frac{1}{2} \times 1.79 \times 10^{-25} \, \text{kg} \times ((1000 \, \text{m/s})^2 – (10 \, \text{m/s})^2) \]

\[ \Delta \text{Ec} = \frac{1}{2} \times 1.79 \times 10^{-25} \, \text{kg} \times (10^6 – 100) \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]

\[ \Delta \text{Ec} = \frac{1}{2} \times 1.79 \times 10^{-25} \, \text{kg} \times 999900 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]

\[ \Delta \text{Ec} = 8.995 \times 10^{-20} \, \text{J} \]

Finalmente, sustituyendo \( \Delta \text{Ec} = 8.995 \times 10^{-20} \, \text{J} \) en la ecuación para \( \Delta V \):

\[ \Delta V = -\frac{8.995 \times 10^{-20} \, \text{J}}{1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}} \]

\[ \Delta V = -0.56 \, \text{V} \]

El signo negativo indica que se requiere una diferencia de potencial negativa, lo que significa que el catión de plata debe moverse hacia una región de menor potencial eléctrico para que su velocidad aumente de 10 m/s a 1000 m/s.