Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre dos electrones y compárala con la fuerza eléctrica de repulsión entre ambos. ¿Cuál es mayor?
Datos:
\[ q_e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \]
\[ m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \]
\[ K = 8.99 \times 10^{9} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \]
\[ G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2 \]
Para calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre dos electrones y compararla con la fuerza eléctrica de repulsión entre ellos, primero recordemos las expresiones de estas fuerzas.
La fuerza gravitatoria entre dos cuerpos de masas \( m_1 \) y \( m_2 \) separados por una distancia \( r \) está dada por la ley de la gravitación universal:
\[ F_g = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]
Donde:
– \( G \) es la constante de gravitación universal (\(6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)).
– \( m_1 \) y \( m_2 \) son las masas de los cuerpos.
– \( r \) es la distancia entre los cuerpos.
La fuerza eléctrica entre dos cargas \( q_1 \) y \( q_2 \) separadas por una distancia \( r \) está dada por la ley de Coulomb:
\[ F_e = \frac{{K \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}} \]
Donde:
– \( K \) es la constante electrostática (\(8.99 \times 10^{9} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)).
– \( q_1 \) y \( q_2 \) son las cargas.
– \( r \) es la distancia entre las cargas.
Dado que los electrones tienen una carga negativa \( q_e = -1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \) y una masa \( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \), podemos aplicar estas expresiones.
Sustituyendo los valores dados, la fuerza gravitatoria entre dos electrones será:
\[ F_g = \frac{{G \cdot m_e \cdot m_e}}{{r^2}} \]
\[ F_g = \frac{{(6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2) \cdot (9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg})^2}}{{r^2}} \]
\[ F_g \approx 5.52 \times 10^{-71} \, \text{N} \]
La fuerza eléctrica entre dos electrones será:
\[ F_e = \frac{{K \cdot |q_e \cdot q_e|}}{{r^2}} \]
\[ F_e = \frac{{(8.99 \times 10^{9} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \cdot (1.6 \times 10^{-19} \, \text{C})^2}}{{r^2}} \]
\[ F_e \approx 2.30 \times 10^{-28} \, \text{N} \]
Ahora, comparando estas fuerzas, podemos calcular la relación \( \frac{{F_e}}{{F_g}} \):
\[ \frac{{F_e}}{{F_g}} = \frac{{2.30 \times 10^{-28} \, \text{N}}}{{5.52 \times 10^{-71} \, \text{N}}} \]
\[ \frac{{F_e}}{{F_g}} \approx 4.17 \times 10^{42} \]
Por lo tanto, la fuerza eléctrica de repulsión entre los electrones es aproximadamente \( 4.17 \times 10^{42} \) veces mayor que la fuerza gravitatoria de atracción entre ellos.
Sentido Físico:
Este resultado es coherente con la observación cotidiana, donde la interacción eléctrica domina a escalas atómicas y subatómicas, mientras que la fuerza gravitatoria es significativa solo en objetos masivos a gran escala, como planetas y estrellas. La enorme diferencia en magnitud entre estas fuerzas refleja la enorme diferencia de intensidad entre la interacción gravitatoria y la eléctrica a escalas subatómicas, siendo esta última mucho más fuerte debido a la diferencia en las constantes de proporcionalidad \( K \) y \( G \) en las leyes de Coulomb y la gravitación universal, respectivamente. Esta disparidad esencial subraya la naturaleza fundamentalmente diferente de las interacciones electromagnéticas y gravitatorias en la física.
Si quieres saber mas sobre este tema, te invito a que veas este video de QuantumFracture: Gravedad vs. Fuerza Eléctrica