La integral tiene una estructura que involucra un logaritmo en el denominador. Esto sugiere que un cambio de variable que simplifique el logaritmo podría ser útil.

Cambio de Variable:

Definimos una nueva variable \(u\) como:

\[ u = \ln(3x) \]

Calculamos la derivada de \(u\) con respecto a \(x\):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \]

De aquí, despejamos \(dx\):

\[ dx = x \, du \]

Sustituimos \(u\) y \(dx\) en la integral original:

\[ \int \frac{dx}{2x\ln(3x)} = \int \frac{x \, du}{2x \cdot u} \]

Observa que el término \(x\) se cancela:

\[ \int \frac{x \, du}{2x \cdot u} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} \]

La integral resultante es una integral básica:

\[ \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C \]

Recordamos que \(u = \ln(3x)\). Sustituimos de vuelta para obtener la solución en términos de \(x\):

\[ \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|\ln(3x)| + C \]

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[ \int \frac{dx}{2x\ln(3x)} = \boxed{\frac{1}{2} \ln|\ln(3x)| + C} \]