1. Observación Clave:

Primero, notamos que la función \(x\ln(x)\) y su derivada juegan un papel importante en la integral. La derivada de \(x\ln(x)\) es similar a \(\ln(x) + 1\), que está relacionado con \(\ln(x+1)\) presente en la integral.

2. Cambio de Variable:

Definimos una nueva variable:

\[
v = x\ln(x)
\]

Ahora, calculamos la derivada de \(v\) con respecto a \(x\):

\[
\frac{dv}{dx} = \ln(x) + 1
\]

De aquí, despejamos \(dx\):

\[
dx = \frac{dv}{\ln(x) + 1}
\]

3. Sustitución en la Integral:

Ahora sustituimos \(v\) y \(dx\) en la integral original:

\[
\int \ln(x+1)e^{x\ln(x)} \, dx = \int \ln(x+1)e^v \cdot \frac{dv}{\ln(x) + 1}
\]

Observamos que el término \(\ln(x) + 1\) se cancela, simplificando la integral:

\[
\int e^v \, dv
\]

4. Integración Directa:

La integral de \(e^v\) con respecto a \(v\) es simplemente \(e^v\). Así que:

\[
\int e^v \, dv = e^v + C
\]

5. Sustitución Inversa:

Recordamos que \(v = x\ln(x)\) y sustituimos de vuelta para obtener la solución en términos de \(x\):

\[
e^v + C = e^{x\ln(x)} + C
\]

Resultado Final:

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[
\int \ln(x+1)e^{x\ln(x)} \, dx = \boxed{e^{x\ln(x)} + C}
\]

Como puedes ver, un cambio de variable adecuado nos permitió transformar una integral complicada en una muy sencilla. Este es un ejemplo perfecto de cómo una observación clave puede hacer una gran diferencia en la resolución de problemas matemáticos. Para conseguir esto requiere resolver muchos problemas parecidos para practicar. Por ejemplo, aquí tienes mas problemas de integrales resueltas por cambio de variable