Antes de ir a la solución del problema, vamos a tomar unas aclaraciones teóricas sobre la matriz inversa,

¿Qué es una matriz inversa y qué propiedades debe tener una matriz A para tener inversa?

Una matriz inversa es una matriz que, al multiplicarse por la matriz original, da como resultado la matriz identidad. En otras palabras, si A es una matriz y A^-1 es su inversa, entonces:

$$A \cdot A^-1 = I$$

donde I es la matriz identidad.

Para que una matriz tenga inversa, debe cumplir las siguientes condiciones:

Debe ser cuadrada, es decir, tener el mismo número de filas que de columnas.
Su determinante no debe ser cero.

¿Cómo se aplica el método de Gauss para calcular la matriz inversa?

El método de Gauss para calcular la matriz inversa es un algoritmo que consiste en realizar una serie de operaciones elementales sobre la matriz original y la matriz identidad hasta obtener la matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz original. La matriz que queda en el lado derecho de la matriz identidad es la matriz inversa de la matriz original.

Ventajas del método de Gauss

El método de Gauss es un método sencillo y eficiente para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada. Es fácil de entender y aplicar, y no requiere cálculos complejos.

Solución del problema

Dada la matriz A:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

1. Formamos la matriz aumentada:

Colocamos la matriz A y la matriz identidad I juntas:

$$[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 1 & 1 & | & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2. Aplicamos operaciones elementales de fila:

Restamos la primera fila de la segunda fila:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & -1 & | & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

Multiplicamos la segunda fila por -1:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 1 & -1 \end{bmatrix} $$

Restamos dos veces la segunda fila de la primera fila:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & -1 & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 & -1 \end{bmatrix} $$

3. Obtenemos la matriz inversa:

La matriz aumentada resultante tiene la forma [I | A^-1], por lo que la matriz inversa de A es:

$$A^-1 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Comprobación:

Podemos verificar que esta es la inversa correcta multiplicando A por A^-1:

$$A \cdot A^-1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$

Como el resultado es la matriz identidad, confirmamos que hemos encontrado la matriz inversa de A.