SOLUCIÓN: La velocidad de escape del cohete lanzado desde la Luna es aproximadamente \( 2.38 \, \text{km/s} \)

SOLUCIÓN DETALLADA:

Para calcular la velocidad de escape \( v_e \) de un cohete lanzado desde la Luna o desde otro cuerpo, aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica: ya que la energía mecánica inicial del cohete es igual a la energía mecánica final, que es cero cuando el cohete alcanza el infinito (la velocidad es lo suficientemente alta para escapar de la gravedad lunar).

La energía mecánica inicial se expresa como la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria del cohete en la superficie lunar. La energía cinética se calcula como \( \frac{1}{2} m v_e^2 \), donde \( m \) es la masa del cohete y \( v_e \) es la velocidad de escape. La energía potencial gravitatoria es \( -\frac{G M_L m}{R_L} \), donde \( G \) es la constante gravitacional, \( M_L \) es la masa de la Luna, y \( R_L \) es el radio de la Luna.

Igualamos la energía mecánica inicial a cero y resolvemos para \( v_e \):

\[ \frac{1}{2} m v_e^2 – \frac{G M_L m}{R_L} = 0 \]

\[ \frac{1}{2} v_e^2 – \frac{G M_L}{R_L} = 0 \]

\[ v_e^2 = \frac{2 G M_L}{R_L} \]

\[ v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}} \]

Sustituyendo los valores dados para la masa de la Luna \( M_L \) y el radio de la Luna \( R_L \), y utilizando la constante gravitacional \( G \), obtenemos:

\[ v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 7.36 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^6}} \]

\[ v_e = \sqrt{2.38 \times 10^3} \]

\[ v_e \approx 2.38 \times 10^3 \, \text{m/s} \]

Para convertir esto a km/s, dividimos por 1000:

\[ v_e \approx 2.38 \, \text{km/s} \]

Por lo tanto, la velocidad de escape del cohete lanzado desde la Luna es aproximadamente \( 2.38 \, \text{km/s} \). Esto significa que el cohete debe alcanzar esta velocidad para escapar de la gravedad de la Luna y viajar por el espacio.

Simulador Velocidad de escape

Si deseas confirmar que el valor que encontraste es realmente la velocidad de escape, te invito a usar el siguiente simulador de velocidad de escape. En este simulador, puedes ajustar el radio y la masa del planeta en relación con la masa terrestre, así como la velocidad inicial, que será la velocidad de escape. Al hacer clic en «play», podrás observar cómo el proyectil se eleva. Si, después de alcanzar su punto más alto, el proyectil cae de vuelta, significa que no hemos logrado alcanzar la velocidad de escape.

Ir al simulador de velocidad de escape

Para hacer los cálculos más sencillos, te proporciono una tabla con las velocidades de escape en otros planetas del sistema solar. ¿Te animas a encontrar la velocidad de escape en otros planetas? ¡Espero tus comentarios!

NOTA: Después de transcurrir un día, la velocidad no disminuye más, ¡así que el proyectil fue lanzado a una velocidad mayor que la de escape!  Y, claro, si disparas con la velocidad exacta de escape, ¡bueno, tendrás que esperar infinitamente para que se detenga! No te preocupes, no te aconsejo que esperes tanto; es mejor hacer estimaciones divertidas con este simulador.