Para resolver este problema, tenemos que utilizar el principio de conservación de la energía mecánica, que establece que la energía total de un sistema aislado permanece constante con el tiempo. Comenzaremos definiendo algunas variables que necesitaremos mas adelante:

– \( M_T \): Masa de la Tierra = \( 5.97 \times 10^{24} \) kg
– \( R_T \): Radio de la Tierra = \( 6.37 \times 10^6 \) m
– \( G \): Constante de gravitación universal = \( 6.67 \times 10^{-11} \) N·m\(^2\)/kg\(^2\)
– \( h \): Altura a la que se quiere llegar = 200 km = \( 2 \times 10^5 \) m
– \( v_{\text{ini}} \): Velocidad inicial de la sonda

La energía mecánica total inicial de la sonda consiste en su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

\[ E_{\text{mec inicial}} = \frac{1}{2} M_T v_{\text{ini}}^2 – \frac{G M_T}{R_T} \]

Y en la altura máxima, toda la energía cinética se convierte en energía potencial:

\[ E_{\text{mec final}} = \frac{G M_T}{R_T+h} \]

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:

\[ E_{\text{mec inicial}} = E_{\text{mec final}} \]

\[ \frac{1}{2} M_T v_{\text{ini}}^2 – \frac{G M_T}{R_T} = \frac{G M_T}{R_T+h} \]

Resolviendo para \( v_{\text{ini}} \):

\[ v_{\text{ini}} = \sqrt{2G M_T \left(\frac{1}{R_T} – \frac{1}{R_T+h}\right)} \]

Sustituyendo los valores dados:

\[ v_{\text{ini}} = \sqrt{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \left(\frac{1}{6.37 \times 10^6} – \frac{1}{6.37 \times 10^6 + 2 \times 10^5}\right)} \]

\[ v_{\text{ini}} = 1951 \, \text{m/s} \]

Convertido a km/h:

\[ v_{\text{ini}} = 7023 \, \text{km/h} \]

Para llevar la sonda al infinito, necesitamos calcular la velocidad de escape, que es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape completamente de la influencia gravitatoria de la Tierra o de cualquier otro cuerpo celeste. En nuestro caso estamos en la Tierra, asi que la velocidad de escape se calcula mediante la fórmula:

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2G M_T}{R_T}} \]

Sustituyendo los valores dados:

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{6.37 \times 10^6}} \]

\[ v_{\text{esc}} = 11181 \, \text{m/s} \]

Convertido a km/h:

\[ v_{\text{esc}} = 40252 \, \text{km/h} \]

A esa velocidad la energía cinética del objeto es suficiente para superar la atracción gravitatoria de la Tierra y escapar hacia el espacio interestatelar y mas allá.

¿Sabias que….

La velocidad de escape en la superficie del Sol es mucho mayor que en la Tierra debido a su enorme masa. Para escapar de la atracción gravitatoria del Sol, un objeto necesitaría alcanzar una velocidad de aproximadamente 617.5 km/s !!

Velocidad de escape de un agujero negro: Los agujeros negros son regiones del espacio donde la fuerza gravitatoria es tan intensa que nada, ni siquiera la luz, puede escapar de su atracción. La velocidad de escape en la superficie de un agujero negro, conocida como el horizonte de eventos, es igual a la velocidad de la luz, aproximadamente 299,792 km/s. Esto significa que cualquier objeto o partícula que cruza este límite está condenado a ser absorbido por el agujero negro.

¿Serías capaz hacer por ti misma/o los cálculos?.

¿Sabías que la física de la velocidad de escape también influye en la composición atmosférica de los cuerpos celestes?