Primero vamos aexplicar un poco de teoría básica sobre límites laterales. Te voy a dar la chapa un poco solamente.

Teoría de Límites Laterales y Límite en un Punto

En matemáticas, el límite de una función en un punto x = a describe el comportamiento de la función a medida que nos acercamos a ese punto. Los límites laterales son una herramienta crucial para entender este comportamiento, ya que nos permiten analizar cómo se comporta la función a medida que nos acercamos a a desde la izquierda (valores menores que a) y desde la derecha (valores mayores que a).

Límite por la Izquierda: Se denota como $\lim_{x \to a^-} f(x)$ y representa el valor al que se acerca f(x) cuando x se aproxima a a desde valores menores que a.

Límite por la Derecha: Se denota como $\lim_{x \to a^+} f(x)$ y representa el valor al que se acerca f(x) cuando x se aproxima a a desde valores mayores que a.

Límite en un Punto: El límite de una función f(x) en un punto x = a existe si y solo si los límites laterales por la izquierda y por la derecha en ese punto existen y son iguales. Es decir:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

Resolvemos ahora si el Problema

Tenemos la función definida por partes:

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 – 2x, & \text{si } x \le -1 \\ 3x + 6, & \text{si } -1 < x \le 2 \\ x^3 – 1, & \text{si } x > 2 \end{cases} $$

Caso x = -1

Límite por la izquierda:

Cuando nos acercamos a -1 por la izquierda, estamos considerando valores de x menores que -1. En este caso, la función f(x) está definida por la expresión $x^2 – 2x$. Por lo tanto:

$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x^2 – 2x) = (-1)^2 – 2(-1) = 3$$

Límite por la derecha:

Cuando nos acercamos a -1 por la derecha, estamos considerando valores de x mayores que -1, pero menores o iguales a 2. En este caso, la función f(x) está definida por la expresión $3x + 6$. Por lo tanto:

$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x + 6) = 3(-1) + 6 = 3$$

Como los límites laterales son iguales, el límite en x = -1 existe:

$$\lim_{x \to -1} f(x) = 3$$

Caso x = 2

Límite por la izquierda:

Cuando nos acercamos a 2 por la izquierda, estamos considerando valores de x mayores que -1, pero menores o iguales a 2. En este caso, la función f(x) está definida por la expresión $3x + 6$. Por lo tanto:

$$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x + 6) = 3(2) + 6 = 12$$

Límite por la derecha:

Cuando nos acercamos a 2 por la derecha, estamos considerando valores de x mayores que 2. En este caso, la función f(x) está definida por la expresión $x^3 – 1$. Por lo tanto:

$$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^3 – 1) = 2^3 – 1 = 7$$

Como los límites laterales son diferentes, el límite en x = 2 no existe.

Interpretación gráfica

Interpretación Gráfica en x = -1

El hecho de que el límite de f(x) exista en x = -1 y sea igual a 3 significa que, a medida que nos acercamos a -1 desde la izquierda y desde la derecha, la gráfica de la función se acerca al punto (-1, 3). En otras palabras, si trazamos la gráfica de f(x), veremos que las ramas de la función a ambos lados de x = -1 se encuentran en el punto (-1, 3). Esto indica que la función es continua en x = -1.

Interpretación Gráfica en x = 2

Por otro lado, el hecho de que el límite de f(x) no exista en x = 2 significa que las ramas de la función a ambos lados de x = 2 no se encuentran en el mismo punto. En este caso, el límite por la izquierda es 12, mientras que el límite por la derecha es 7. Esto implica que hay un «salto» en la gráfica de la función en x = 2. Gráficamente, esto se representa como un punto vacío en la rama izquierda de la función en (2, 12) y un punto lleno en la rama derecha de la función en (2, 7).

Código para implementar en Geogebra:  Utiliza esté código para representar gráficamente la función f(x) definida a trozos:

If(x <= -1, x^2 – 2x, If(-1 < x <= 2, 3x + 6, x^3 – 1))