La ecuación general de una circunferencia es:

\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

Para encontrar el centro y el radio a partir de esta ecuación, necesitamos transformarla a su forma estándar:

\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) es el radio.

Pasos para resolver el problema:

1. Agrupar los términos de x y y:
Dada una ecuación de circunferencia, agrupamos los términos \(x\) y \(y\):

\[ x^2 + y^2 + \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y – \frac{5}{2} = 0 \]

2. Completar el cuadrado para los términos en x:

Tomamos la mitad del coeficiente de \(x\) (\(\frac{3}{4}\)), lo elevamos al cuadrado (\(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)) y lo sumamos y restamos dentro de la ecuación:

\[ x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} + y^2 + \frac{5}{2}y – \frac{5}{2} = \frac{9}{16} \]

Reescribimos el término en \(x\) como un cuadrado perfecto:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + y^2 + \frac{5}{2}y – \frac{5}{2} = \frac{9}{16} \]

3. Completar el cuadrado para los términos en y:

Tomamos la mitad del coeficiente de \(y\) (\(\frac{5}{4}\)), lo elevamos al cuadrado (\(\left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}\)) y lo sumamos y restamos dentro de la ecuación:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + y^2 + \frac{5}{2}y + \frac{25}{16} – \frac{5}{2} = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} \]

Reescribimos el término en \(y\) como un cuadrado perfecto:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 – \frac{5}{2} = \frac{34}{16} \]

4. Simplificar y llevar a la forma estándar:

Sumamos \(\frac{5}{2}\) a ambos lados para aislar los cuadrados perfectos:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{34}{16} + \frac{40}{16} \]

Simplificamos el lado derecho:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{74}{16} \]

Expresamos el lado derecho como un cuadrado:

\[ \left(x + \frac{3}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{74}}{4}\right)^2 \]

Ahora la ecuación está en forma estándar, por lo que podemos identificar fácilmente:

Centro: \((h, k) = \left(-\frac{3}{4}, -\frac{5}{4}\right)\)
 Radio: \(r = \frac{\sqrt{74}}{4}\)