Calcular la posición relativa de la recta y = 3 – 2x respecto de las circunferencias
a) x2 + y2 – 2x + 3y + 2 = 0
b) x2 + y2 – 3x + 4y – 3 = 0
c)2x2 + 2y2 + 3x + 5y – 5 = 0
LukasNovato
Calcular la posición relativa de la recta y = 3 - 2x respecto de las circunferencias
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La posición relativa de una recta y una circunferencia puede ser:
Secante: La recta corta la circunferencia en dos puntos.
Tangente: La recta toca la circunferencia en un solo punto.
Exterior: La recta no toca la circunferencia en ningún punto.
Para determinar la posición relativa, seguimos estos pasos:
1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia: Esto nos da una ecuación cuadrática en una sola variable (x o y).
2. Analizar el discriminante de la ecuación cuadrática:
– Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, lo que significa que la recta es secante a la circunferencia.
– Si el discriminante es cero, la ecuación tiene una solución real doble, lo que significa que la recta es tangente a la circunferencia.
– Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales, lo que significa que la recta es exterior a la circunferencia.
Problema
Determinar la posición relativa de la recta \( y = 3 – 2x \) respecto de la circunferencia \( x^2 + y^2 – 2x + 3y + 2 = 0 \).
Vamos paso por paso
1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia:
Sustituimos \( y = 3 – 2x \) en la ecuación de la circunferencia:
\[ x^2 + (3 – 2x)^2 – 2x + 3(3 – 2x) + 2 = 0 \]
2. Simplificar y resolver la ecuación cuadrática:
Desarrollamos los cuadrados y agrupamos términos:
\[ x^2 + 9 – 12x + 4x^2 – 2x + 9 – 6x + 2 = 0 \]
\[ 5x^2 – 20x + 20 = 0 \]
Dividimos por 5:
\[ x^2 – 4x + 4 = 0 \]
Factorizamos:
\[ (x – 2)^2 = 0 \]
La única solución es \( x = 2 \) doble
3. Encontrar el punto de intersección:
Ver Solución Completa
Sustituimos \( x = 2 \) en la ecuación de la recta para encontrar el valor de \( y \):
\[ y = 3 – 2(2) = -1 \]
Por lo tanto, la recta y la circunferencia se intersectan en el punto \( (2, -1) \).
4. Analizar el discriminante:
En este caso, la ecuación cuadrática resultó ser un cuadrado perfecto, lo que significa que tiene una solución doble (\( x = 2 \)). Por lo tanto, el discriminante es cero.
Como la ecuación cuadrática tiene una solución doble, la recta es tangente a la circunferencia en el punto \( (2, -1) \).
Inciso b)
Calcular la posición relativa de la recta \( y = 3 – 2x \) respecto de la circunferencia \( x^2 + y^2 – 3x + 4y – 3 = 0 \).
1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia:
Sustituimos \( y = 3 – 2x \) en la ecuación de la circunferencia:
\[ x^2 + (3 – 2x)^2 – 3x + 4(3 – 2x) – 3 = 0 \]
2. Simplificar y resolver la ecuación cuadrática:
Desarrollamos los cuadrados y agrupamos términos:
\[ x^2 + (9 – 12x + 4x^2) – 3x + (12 – 8x) – 3 = 0 \]
\[ x^2 + 9 – 12x + 4x^2 – 3x + 12 – 8x – 3 = 0 \]
\[ 5x^2 – 23x + 18 = 0 \]
Resolvemos la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Donde \( a = 5 \), \( b = -23 \) y \( c = 18 \). Sustituyendo:
\[ x = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5} \]
\[ x = \frac{23 \pm \sqrt{529 – 360}}{10} \]
\[ x = \frac{23 \pm \sqrt{169}}{10} \]
\[ x = \frac{23 \pm 13}{10} \]
Obtenemos dos soluciones:
\[ x_1 = \frac{23 + 13}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \]
\[ x_2 = \frac{23 – 13}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
3. Encontrar los puntos de intersección:
Ver Solución Completa
Sustituimos cada valor de \( x \) en la ecuación de la recta para encontrar los valores correspondientes de \( y \):
Para \( x_1 = 3.6 \):
\[ y_1 = 3 – 2(3.6) = 3 – 7.2 = -4.2 \]
Para \( x_2 = 1 \):
\[ y_2 = 3 – 2(1) = 3 – 2 = 1 \]
Por lo tanto, la recta y la circunferencia se intersectan en dos puntos: \( (3.6, -4.2) \) y \( (1, 1) \).
4. Analizar el discriminante:
En este caso, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas (\( x_1 = 3.6 \) y \( x_2 = 1 \)), lo que significa que el discriminante es positivo.
Conclusión:
Como la ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas, la recta es secante a la circunferencia, cortándola en los puntos \( (3.6, -4.2) \) y \( (1, 1) \).
Gráfica:
Si graficamos la recta y la circunferencia, veremos que se intersectan en los puntos \( (3.6, -4.2) \) y \( (1, 1) \), confirmando que la recta es secante a la circunferencia.
Inciso c)
Calcular la posición relativa de la recta \( y = 3 – 2x \) respecto de la circunferencia \( 2x^2 + 2y^2 + 3x + 5y – 5 = 0 \).
1. Sustituir la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia:
Primero, sustituimos \( y = 3 – 2x \) en la ecuación de la circunferencia:
\[ 2x^2 + 2(3 – 2x)^2 + 3x + 5(3 – 2x) – 5 = 0 \]
2. Simplificar y resolver la ecuación cuadrática:
Desarrollamos los cuadrados y agrupamos términos:
\[ 2x^2 + 2(9 – 12x + 4x^2) + 3x + 15 – 10x – 5 = 0 \]
\[ 2x^2 + 2(9 – 12x + 4x^2) + 3x + 15 – 10x – 5 = 0 \]
\[ 2x^2 + 18 – 24x + 8x^2 + 3x + 15 – 10x – 5 = 0 \]
\[ 10x^2 – 31x + 28 = 0 \]
3. Analizar el discriminante:
Ver Solución Completa
Para determinar la naturaleza de las raíces, calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Donde \( a = 10 \), \( b = -31 \) y \( c = 28 \).
Sustituimos los valores:
\[ \Delta = (-31)^2 – 4 \cdot 10 \cdot 28 \]
\[ \Delta = 961 – 1120 \]
\[ \Delta = -159 \]
El discriminante es negativo (\( \Delta < 0 \)).
Conclusión:
Como el discriminante de la ecuación cuadrática es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que la recta y la circunferencia no tienen puntos de intersección.
Por lo tanto, la recta es exterior a la circunferencia.
Gráfica:
Si graficamos la recta y la circunferencia, vemos que no se intersectan, confirmando que la recta es exterior a la circunferencia.