Guía Ampliada para Identificar Cónicas a partir de su Ecuación General

La ecuación general de una cónica es:

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \]

Donde \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \) y \( F \) son constantes.

Para identificar el tipo de cónica, observamos los coeficientes \( A \), \( B \) y \( C \), y aplicamos los siguientes criterios:

Circunferencia:
\( A = C \) y \( B = 0 \)
Para encontrar el centro y el radio, completamos el cuadrado en \( x \) e \( y \). La ecuación resultante tendrá la forma:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Donde \((h, k)\) es el centro y \( r \) es el radio.

Elipse:
\( A \) y \( C \) tienen el mismo signo y \( B = 0 \)
\( A \neq C \)
Para encontrar el centro, los semiejes y los focos, completamos el cuadrado en \( x \) e \( y \). La ecuación resultante tendrá la forma:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \] (si \( a > b \), eje mayor horizontal)
\[ \frac{(y – k)^2}{a^2} + \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1 \] (si \( b > a \), eje mayor vertical)
Donde \((h, k)\) es el centro, y \( a \) y \( b \) son los semiejes.

Parábola:
\( A \) o \( C \) es cero (pero no ambos) y \( B = 0 \)
Para encontrar el vértice, el foco y la directriz, completamos el cuadrado en la variable que tiene coeficiente cuadrático. La ecuación resultante tendrá la forma:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \] (si el eje focal es vertical)
\[ (y – k)^2 = 4p(x – h) \] (si el eje focal es horizontal)
Donde \((h, k)\) es el vértice y \( p \) es la distancia entre el vértice y el foco.

Hipérbola:
\( A \) y \( C \) tienen signos opuestos y \( B = 0 \)
Para encontrar el centro, los semiejes y los focos, completamos el cuadrado en \( x \) e \( y \). La ecuación resultante tendrá la forma:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \] (si el eje focal es horizontal)
\[ \frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{(x – h)^2}{b^2} = 1 \] (si el eje focal es vertical)
Donde \((h, k)\) es el centro, y \( a \) y \( b \) son los semiejes.

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Solución del Problema

Ecuación: \( x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 \)

1. Identificación:
Coeficientes: \( A = 1 \), \( B = 0 \), \( C = 1 \)
Como \( A = C \) y \( B = 0 \), la ecuación representa una circunferencia.

2. Completar el cuadrado:
Agrupamos los términos en \( x \) y los términos en \( y \):
\[ (x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) = -1 \]
Completamos el cuadrado para los términos en \( x \):
\[ x^2 + 2x \rightarrow (x + 1)^2 – 1 \]

Completamos el cuadrado para los términos en \( y \):
\[ y^2 + 2y \rightarrow (y + 1)^2 – 1 \]
Sustituimos en la ecuación original:
\[ (x + 1)^2 – 1 + (y + 1)^2 – 1 = -1 \]
\[ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 – 2 = -1 \]
\[ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1 \]

3. Forma estándar:
La ecuación ahora está en la forma estándar de una circunferencia:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]

4. Identificar centro y radio:
Centro: \((h, k) = (-1, -1)\)
Radio: \( r = \sqrt{1} = 1 \)

La ecuación \( x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 \) representa una circunferencia con centro en \((-1, -1)\) y radio 1.

Vamos ahora un poco mas rápido.

b) \( 2x^2 + 2y^2 – 4x + 4y + 19 = 0 \)

\( A = 2 \), \( B = 0 \), \( C = 2 \)

Dividimos la ecuación por 2:

\[ x^2 + y^2 – 2x + 2y + \frac{19}{2} = 0 \]

Completamos el cuadrado:

\[ (x^2 – 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = -\frac{19}{2} + 1 + 1 \]
\[ (x – 1)^2 + (y + 1)^2 = -\frac{17}{2} \]

Como el radio al cuadrado no puede ser negativo, esta ecuación no representa una cónica.

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c) \( x^2 + 4y^2 = 100 \)

\( A = 1 \), \( B = 0 \), \( C = 4 \)
Como \( A \) y \( C \) tienen el mismo signo y \( B = 0 \), es una elipse.

Dividimos la ecuación por 100 para llevarla a la forma estándar:

\[ \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1 \]

Semieje mayor: \( a = \sqrt{100} = 10 \)
Semieje menor: \( b = \sqrt{25} = 5 \)

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d) \( 8x^2 – 3y^2 = 120 \)

\( A = 8 \), \( B = 0 \), \( C = -3 \)
Como \( A \) y \( C \) tienen signos opuestos y \( B = 0 \), es una hipérbola.

Dividimos la ecuación por 120 para llevarla a la forma estándar:

\[ \frac{x^2}{15} – \frac{y^2}{40} = 1 \]

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e) \( y^2 = 36x \)

\( A = 0 \), \( B = 0 \), \( C = 1 \) (o \( A = 1 \), \( B = 0 \), \( C = 0 \) si reescribimos como \( x = \frac{1}{36}y^2 \))
Como \( A \) o \( C \) es cero, es una parábola.

La ecuación ya está en la forma estándar de una parábola horizontal:

\[ 4p = 36 \Rightarrow p = 9 \]

Foco: \((9, 0)\)
Directriz: \( x = -9 \)

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En resumen:

a) Circunferencia con centro \((-1, -1)\) y radio 1.
b) No representa una cónica.
c) Elipse con semiejes 10 y 5.
d) Hipérbola.
e) Parábola con foco \((9, 0)\) y directriz \( x = -9 \).