SOLUCIÓN: El satélite se encontrará a una altura aproximada de 36000 km medido desde la superficie terrestre.

SOLUCIÓN DETALLADA

Para resolver este problema, primero determinaremos la frecuencia angular necesaria para que el satélite esté siempre sobre el mismo punto de la Tierra.

La frecuencia angular se define como la velocidad angular a la que el satélite debe girar alrededor de la Tierra. Esta velocidad angular se calcula utilizando la fórmula del período orbital:

\[ T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi}{\omega} \]

Dado que el satélite debe girar al mismo ritmo que la Tierra, su período orbital debe ser igual al período de rotación de la Tierra, que es de 24 horas. Por lo tanto, calculamos \( \omega \):

\[ \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{24 \times 3600} = 7.3 \times 10^{-5} \, \text{rad/s} \]

Ahora, determinaremos la altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra el satélite. Utilizaremos la fórmula de la velocidad orbital para obtener esta altura. La velocidad orbital se obtiene igualando la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta:

\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]

Resolviendo para \( r \), obtenemos:

\[ r = \frac{GM}{v^2} \]

Luego, sustituimos la fórmula del período orbital para obtener la velocidad orbital:

\[ v = \frac{2 \pi r}{T} \]

Sustituyendo esta expresión de \( v \) en la ecuación anterior, obtenemos el radio de la órbita:

\[ r^3 = \frac{GMT^2}{4 \pi^2} = 42.2 \times 10^6 \, \text{m} \]

Esta es la altura medida desde el centro de la Tierra. Para obtener la altura desde la superficie terrestre, restamos el radio de la Tierra al valor obtenido:

\[ h = R_T – r = 6.4 \times 10^6 – 42.2 \times 10^6 \, \text{m} = 3.6 \times 10^7 \, \text{m} \]

O aproximadamente 36,000 km.

Estas órbitas, en las que los satélites permanecen siempre sobre el mismo punto de la Tierra, en el plano ecuatorial,se llaman órbitas  geoestacionarias.