Para convertir entre diferentes unidades de velocidad angular, necesitamos conocer las relaciones entre unidades

1.De rpm a rad/s:
\[
1 \text{ rpm} = \frac{2\pi \text{ rad}}{60 \text{ s}} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}
\]

2. De vueltas/s a rad/s:
\[
1 \text{ vuelta/s} = 2\pi \text{ rad/s}
\]

3. De grados/s a rad/s:
\[
1 \text{ grado} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}
\]
\[
1 \text{ grado/s} = \frac{\pi}{180} \text{ rad/s}
\]

4. De grados/min a rad/s:
\[
1 \text{ grado} = \frac{\pi}{180} \text{ rad}
\]
\[
1 \text{ grado/min} = \frac{\pi}{180 \times 60} \text{ rad/s} = \frac{\pi}{10800} \text{ rad/s}
\]

Ahora solo tenemos que aplicarlas a nuestro problema:

a. 40 rpm a rad/s
\[
40 \text{ rpm} \times \frac{\pi}{30} \text{ rad/s} = \frac{40\pi}{30} \text{ rad/s} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad/s} \approx 4.19 \text{ rad/s}
\]

b. 180 rpm a rad/s
\[
180 \text{ rpm} \times \frac{\pi}{30} \text{ rad/s} = \frac{180\pi}{30} \text{ rad/s} = 6\pi \text{ rad/s} \approx 18.85 \text{ rad/s}
\]

c. 9 vueltas/s a rad/s
\[
9 \text{ vueltas/s} \times 2\pi \text{ rad/vuelta} = 18\pi \text{ rad/s} \approx 56.55 \text{ rad/s}
\]

d. 5040°/s a rad/s
\[
5040 \text{ °/s} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad/°} = 5040 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad/s} = 28\pi \text{ rad/s} \approx 87.96 \text{ rad/s}
\]

e. 7560°/min a rad/s
\[
7560 \text{ °/min} \times \frac{\pi}{10800} \text{ rad/°} = \frac{7560\pi}{10800} \text{ rad/s} = \frac{7\pi}{10} \text{ rad/s} \approx 2.20 \text{ rad/s}
\]