Voy a ser rápido. e⁰ = 1 . Es lo que nos enseñan en clase cuando empezamos a estudiar la potencias. Es la definición formal:

» Cualquier número diferente de cero  elevado a cero es 1″

El número e, conocido como el número de Euler, es un número irracional cuyo valor aproximado es 2.7182. Este número tiene infinitos decimales que no se repiten, lo que lo clasifica como un número irracional aunque formalmente, un número irracional es aquel que no puede expresarse como una fracción de dos números enteros.

Como hemos afirmado el valor de \( e \) elevado a la potencia cero, es decir, \( e^0 \), es igual a 1. Esto puede parecer contra intuitivo al principio, pero tiene una explicación matemática fundamentada en las propiedades de las potencias y la función exponencial y si te quedas conmigo te lo explico en detalle, aunque advierto que puede ser necesario tener conocimientos de matemáticas de nivel bachillerato para entender todo el procedimiento, no te preocupes si estás en cursos anteriores. Lo explicaré de manera muy sencilla, y te aseguro que valdrá la pena.

Por qué \( e^0 = 1 \)

Para entender por qué \( e^0 = 1 \), podemos utilizar la definición de la función exponencial y las reglas de las potencias:

La función exponencial \( e^x \) se define como la serie infinita:
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\]
Si sustituimos \( x = 0 \) en la serie de la función exponencial, obtenemos:
\[
e^0 = 1 + 0 + \frac{0^2}{2!} + \frac{0^3}{3!} + \frac{0^4}{4!} + \cdots
\]
Simplificando cada término , notamos que todos los términos con \( x \) (donde \( x \) es cualquier número distinto de cero) desaparecen, y nos queda simplemente \( 1 \).

asi que podemos afirmar con rotundidad que \( e^0 = 1 \)

Fíjate en que hemos expresado la función exponencial como una suma de potencias, que básicamente es una suma de polinomios. Aunque parezca raro, de hecho, cualquier función matemática que se «comporte bien» puede ser expresada como la suma de potencias de polinomios. Este concepto es conocido como la serie de Taylor, y es una forma poderosa de expresar funciones como el seno de \( x \), la tangente o el logaritmo natural de \( x \), permitiendo calcular su valor exacto en cualquier punto.

Es un método fantástico que las calculadoras utilizan o solían utilizar para realizar cálculos complejos y en física se empleaa menudo para aproximar soluciones que de otra manera serían muy dificiles de calcular, como por ejemplo para llegar a la expresión de la posición respecto del tiempo de un movimiento armónico simple.