Desde lo alto de un acantilado de 50 m de altura se lanza un objeto con una velocidad de 30 m/s y con un ángulo 30º. Determinar:
a) Altura máxima.
b) Alcance máximo.
c) Ecuación de la trayectoria.
d) Vector de posición.
e) Vector velocidad.
f) Velocidad de impacto.
g) Ángulo de impacto:
a) Altura máxima:
Para calcular la altura máxima, primero encontramos las componentes de la velocidad inicial, \( v_{0x} \) y \( v_{0y} \), utilizando trigonometría:
\[ v_{0x} = v_{0} \cdot \cos(\alpha) = 30 \cdot \cos(30^\circ) = 26 \, \text{m/s} \]
\[ v_{0y} = v_{0} \cdot \sin(\alpha) = 30 \cdot \sin(30^\circ) = 15 \, \text{m/s} \]
Luego, utilizamos la ecuación de la velocidad en el eje \( y \) para encontrar el tiempo \( t \) cuando la velocidad en \( y \) es cero:
\[ v_{y} = v_{0y} + gt \]
\[ 0 = 15 -10t \]
\[ t = 1.5 \, \text{s} \]
Finalmente, utilizamos la ecuación de posición en \( y \) para calcular la altura máxima:
\[ y = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} g t^{2} \]
\[ y = 50 + 15 \cdot 1.5 + \frac{1}{2} (-10) \cdot 1.5^{2} = 61.25 \, \text{m} \]
b) Alcance máximo:
Para encontrar el alcance máximo, resolvemos la ecuación de posición en \( y \) cuando \( y = 0 \):
\[ 0 = 50 + 15t + \frac{1}{2} (-10)t^{2} \]
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos \( t = 5 \) s. Luego, utilizamos la ecuación de posición en \( x \) para calcular el alcance máximo:
\[ x = v_{0x} t = 26 \cdot 5 = 130 \, \text{m} \]
c) Ecuación de la trayectoria:
La ecuación de la trayectoria nos da la altura en función de la distancia horizontal. Utilizando las relaciones entre \( x \) y \( y \), obtenemos:
\[ y = 50 + \frac{15}{26}x – \frac{5}{135}x^{2} \]
d) Vector de posición:
El vector de posición \( \mathbf{r} \) se compone de dos componentes: una en \( x \) y otra en \( y \):
\[ \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} \]
\[ \mathbf{r} = 26t \mathbf{i} + (50 + 15t – 5t^{2}) \mathbf{j} \]
e) Vector velocidad:
Cuando el objeto toca el suelo (\( y = 0 \)), calculamos las velocidades en \( x \) y \( y \):
\[ v_{x} = v_{0x} = 26 \, \text{m/s} \]
\[ v_{y} = v_{0y} + gt = 15 -10 \cdot 5 = -35 \, \text{m/s} \]
El signo negativo en \( v_{y} \) indica que la velocidad está dirigida hacia abajo.
f) Velocidad de impacto:
La velocidad de impacto es la magnitud del vector velocidad cuando el objeto toca el suelo. Utilizando la fórmula para la velocidad total, considerando el signo negativo de \( v_{y} \):
\[ v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{26^{2} + (-35)^{2}} = 43.6 \, \text{m/s} \]
El resultado negativo se debe a que el objeto está descendiendo, como se esperaba.
g) Ángulo de impacto:
El ángulo de impacto \( \beta \) es el ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal al tocar el suelo. Utilizamos la tangente del ángulo para encontrarlo:
\[ \tan(\beta) = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{-35}{26} \]
\[ \beta = -53.4^\circ \]
El signo negativo indica la dirección del ángulo tal como se calculó.