Solución:

Para resolver este problema, primero debemos establecer nuestra convención de signos y definir las variables involucradas. Tomaremos como positiva la dirección hacia arriba y como negativa la dirección hacia abajo.

Definamos nuestras variables:

– \( y \): Posición vertical del objeto desde el suelo (metros).
– \( v_0 \): Velocidad inicial del objeto lanzado hacia arriba (metros por segundo).
– \( g \): Aceleración debida a la gravedad (\(10 \, \text{m/s}^2\)).
– \( t \): Tiempo que tarda en llegar al suelo (segundos).

La posición del objeto en cualquier instante es:

\[ y = y_0 + v_0 t – \frac{1}{2} g t^2 \]

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos la ecuación:

\[ 0 = 15 \, \text{m} + 15 \, \text{m/s} \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \cdot t^2 \]

Para encontrar el tiempo en el que el objeto llega al suelo, necesitamos resolver esta ecuación de segundo grado en \( t \).

\[ -5t^2 + 15t + 15 = 0 \]

Utilizando la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación, obtenemos dos soluciones posibles para \( t \):

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Donde:
– \( a = -5 \)
– \( b = 15 \)
– \( c = 15 \)

Calculando:

\[ t = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 – 4 \cdot (-5) \cdot 15}}{2 \cdot (-5)} \]

\[ t = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 300}}{-10} \]

\[ t = \frac{-15 \pm \sqrt{525}}{-10} \]

\[ t = \frac{-15 \pm 5\sqrt{21}}{-10} \]

Las soluciones son:

\[ t_1 \approx 3.8 \, \text{s} \]
\[ t_2 \approx -0.8 \, \text{s} \]

Como el tiempo no puede ser negativo, descartamos la solución negativa. Por lo tanto, el tiempo que tarda en llegar al suelo es aproximadamente \( t \approx 3.8 \, \text{s} \).