1. Energía mecánica inicial (en el punto de lanzamiento a 14 metros):

La energía mecánica inicial se calcula justo cuando la pelota es lanzada. En este punto, la energía mecánica es la suma de la energía cinética inicial (debido a la velocidad de lanzamiento) y la energía potencial gravitatoria (debido a la altura de 14 m).

La energía cinética (Ec) inicial es:
\[ \text{Ec} = \frac{1}{2} m v_0^2 \]
\[ \text{Ec} = \frac{1}{2} \times 0.045 \, \text{kg} \times (15 \, \text{m/s})^2 \]
\[ \text{Ec} = \frac{1}{2} \times 0.045 \times 225 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]
\[ \text{Ec} = 5.0625 \, \text{J} \]

La energía potencial gravitatoria (Ep) en el punto inicial es:
\[ \text{Ep} = mgh_0 \]
\[ \text{Ep} = 0.045 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 14 \, \text{m} \]
\[ \text{Ep} = 6.174 \, \text{J} \]

La energía mecánica total inicial (Em) es la suma de estas dos energías:
\[ \text{Em} = \text{Ec} + \text{Ep} \]
\[ \text{Em} = 5.0625 \, \text{J} + 6.174 \, \text{J} \]
\[ \text{Em} = 11.2365 \, \text{J} \]

2. Energía mecánica en la máxima altura:

En la máxima altura, la velocidad de la pelota es cero (\( v = 0 \)). Por lo tanto, toda la energía mecánica ha transformado en energía potencial, y la energía cinética es cero.

En este punto:
\[ \text{Em} = \text{Ep} \]
\[ \text{Ep (máxima altura)} = 11.2365 \, \text{J} \]

Por conservación de la energía mecánica, la energía potencial máxima también será 11.2365 J.

3. Energía mecánica a una altura de 8 metros:

A 8 metros de altura, la energía mecánica es la misma que en cualquier otro punto ( siempre se conserva si no existe fricciones) , es decir, 11.2365 J. Sin embargo, ahora se distribuye entre energía cinética y potencial.

Primero, calculamos la energía potencial a 8 metros:
\[ \text{Ep} = mgh \]
\[ \text{Ep} = 0.045 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 8 \, \text{m} \]
\[ \text{Ep} = 3.528 \, \text{J} \]

Para encontrar la energía cinética a 8 metros, utilizamos la conservación de la energía mecánica:
\[ \text{Em} = \text{Ec} + \text{Ep} \]
\[ 11.2365 \, \text{J} = \text{Ec} + 3.528 \, \text{J} \]

\[ \text{Ec} = 11.2365 \, \text{J} – 3.528 \, \text{J} \]
\[ \text{Ec} = 7.7085 \, \text{J} \]

b) Velocidad con la que llega al suelo

Para determinar la velocidad con la que la pelota llega al suelo, podemos usar nuevamente la conservación de la energía mecánica. En el suelo, la altura es cero, por lo que toda la energía mecánica se ha convertido en energía cinética.

La energía cinética al llegar al suelo será igual a la energía mecánica inicial:
\[ \text{Em} = \text{Ec (suelo)} = \frac{1}{2} m v^2 \]

De aquí despejamos la velocidad \( v \):
\[ v = \sqrt{\frac{2 \times \text{Em}}{m}} \]

Sustituyendo los valores:
\[ v = \sqrt{\frac{2 \times 11.2365 \, \text{J}}{0.045 \, \text{kg}}} \]
\[ v = \sqrt{\frac{22.473 \, \text{J}}{0.045 \, \text{kg}}} \]
\[ v = \sqrt{499.4 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \]
\[ v \approx 22.35 \, \text{m/s} \]

Un saludo!