Se nos da una matriz A de tamaño 3×3:
$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} $$
Determinar el valor del parámetro a que satisfaga la siguiente ecuación matricial:
$$ A^2 + 2A + I = 0 $$
donde:
- A2 es el producto de la matriz A por sí misma.
- I es la matriz identidad (una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto).
- 0 es la matriz nula (una matriz con todos sus elementos iguales a cero).
Vamos paso por paso resolviendo la ecuación matricial y después juntamos todos los resultados parciales.
1. Calculamos A²:
Para calcular A2, multiplicamos la matriz A por sí misma:
$$ A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & a^2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$
2. Calculamos 2A:
Multiplicamos cada elemento de la matriz A por 2:
$$ 2A = 2 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2a & 0 \\ -2 & 0 & -4 \end{bmatrix} $$
3. Sumamos A² + 2A + I:
$$ A^2 + 2A + I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & a^2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2a & 0 \\ -2 & 0 & -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =$$
$$ = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2 + 2a + 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
4. Igualamos a la matriz nula y resolvemos para ‘a’:
Para que se cumpla la ecuación A2 + 2A + I = 0, la matriz resultante debe ser la matriz nula. Esto nos lleva a la siguiente ecuación:
$$ a^2 + 2a + 1 = 0 $$
Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver fácilmente factorizando:
$$ (a + 1)^2 = 0 $$
Por lo tanto, la única solución es:
$$ a = -1 $$
El valor del parámetro ‘a’ que satisface la ecuación A2 + 2A + I = 0 es a = -1.