Tenemos dos pequeñas partículas cargadas positivamente. Una de ellas tiene una carga de \( q_1 = 2 \ \mu C \) y la otra, un poco más imponente, tiene una carga de \( q_2 = 6 \ \mu C \). Estas partículas están separadas por una distancia de 2 metros. Lo que buscamos es ese punto mágico en el espacio donde los campos eléctricos generados por estas dos cargas se anulan entre sí. ¡Empecemos este desafío paso a paso, y lo entenderás a la perfección!

Primero, recordemos que el campo eléctrico (\( E \)) creado por una carga puntual \( q \) a una distancia \( r \) de ella está dado por la expresión:
\[ E = \frac{k \cdot q}{r^2} \]
\( k \) es la constante de Coulomb (\( k = 8.99 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \)).

El campo eléctrico es un vector, lo que significa que tiene magnitud y dirección. Dado que ambas cargas son positivas, sus campos eléctricos se repelen entre sí. Por lo tanto, el punto donde los campos se cancelan debe estar en la línea que une las dos cargas, más cerca de la carga menor, ya que una carga menor produce un campo más débil.

Llamemos \( x \) a la distancia desde la carga mayor \( q_2 \) hasta el punto donde los campos se anulan. Como la distancia total entre las dos cargas es 2 metros, la distancia desde ese punto hasta la carga menor \( q_1 \) será \( 2 – x \) metros. Para que los campos se cancelen en ese punto, la magnitud del campo eléctrico debido a \( q_1 \) debe ser igual a la magnitud del campo eléctrico debido a \( q_2 \).

Igualamos las expresiones de los campos eléctricos generados por ambas cargas en ese punto:

\[
\frac{k \cdot q_1}{(2 – x)^2} = \frac{k \cdot q_2}{x^2}
\]

Notemos que \( k \) se cancela en ambos lados de la ecuación, simplificando nuestra tarea. Así, nos queda:

\[
\frac{q_1}{(2 – x)^2} = \frac{q_2}{x^2}
\]

Sustituyamos los valores de \( q_1 = 2 \ \mu C \) y \( q_2 = 6 \ \mu C \):

\[
\frac{2 \ \mu C}{(2 – x)^2} = \frac{6 \ \mu C}{x^2}
\]

Al simplificar esta expresión, observamos que \( \mu C \) se cancela también:

\[
\frac{2}{(2 – x)^2} = \frac{6}{x^2}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( x^2 \) y luego por \( (2 – x)^2 \) para eliminar los denominadores:

\[
2x^2 = 6(2 – x)^2
\]

Expandiendo \( (2 – x)^2 \) nos queda:

\[
(2 – x)^2 = 4 – 4x + x^2
\]

Sustituyendo en la ecuación original:

\[
2x^2 = 6(4 – 4x + x^2)
\]

Multiplicamos y reordenamos para formar una ecuación cuadrática:

\[
2x^2 = 24 – 24x + 6x^2
\]

Restamos \( 2x^2 \) de ambos lados para simplificar:

\[
0 = 4x^2 – 24x + 24
\]

Dividimos toda la ecuación entre 4 para hacerla más manejable:

\[
x^2 – 6x + 6 = 0
\]

Para resolver esta ecuación cuadrática, usamos la fórmula cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

Aquí, \( a = 1 \), \( b = -6 \), y \( c = 6 \). Sustituyendo estos valores:

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 – 4(1)(6)}}{2(1)}
\]

Calculamos dentro de la raíz:

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 24}}{2}
\]

Simplificamos:

\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}
\]

Sabemos que \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \), entonces:

\[
x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2}
\]

Finalmente, simplificamos:

\[
x = 3 \pm \sqrt{3}
\]

Nos interesa la distancia desde la carga mayor \( q_2 \), por lo que tomamos el valor menor, \( x = 3 – \sqrt{3} \) metros. Calculando:

\[
x \approx 3 – 1.732 \approx 1.268 \ \text{m}
\]

SOLUCIÓN

El punto donde los campos eléctricos se cancelan se encuentra a 1.268 metros de la carga mayor de \( 6 \ \mu C \). ¡Así, hemos encontrado el equilibrio perfecto entre dos fuerzas invisibles, revelando el punto exacto donde estas energías se anulan mutuamente!