Tenemos tres cargas eléctricas:
– Dos cargas positivas \( q_1 \) y \( q_2 \) de magnitud \( 3 \, \mu\text{C} \) ubicadas en los puntos \( (-3, 0) \) y \( (3, 0) \) respectivamente, sobre el eje X.
– Una carga negativa \( q_3 \) de magnitud \( -2 \, \mu\text{C} \) cuya posición varía en cada parte del problema.

Nuestro objetivo es calcular la fuerza neta que estas dos cargas positivas ejercen sobre la carga negativa en distintos puntos del espacio. Recordemos que la fuerza entre dos cargas puntuales está dada por la ley de Coulomb:

\[
\mathbf{F} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \hat{r}
\]

\( k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \) es la constante de Coulomb.
\( q_1 \) y \( q_2 \) son las magnitudes de las cargas.
\( r \) es la distancia entre las cargas.
\( \hat{r} \) es el vector unitario que indica la dirección de la fuerza.

Caso (a): Carga negativa en el punto \( (0, 4) \)

La carga negativa \( q_3 \) se encuentra en el punto \( (0, 4) \), es decir, 4 unidades por encima del origen en el eje Y.

Primero, calculemos la distancia entre \( q_3 \) y cada una de las cargas \( q_1 \) y \( q_2 \). Ambas distancias son iguales, ya que \( q_1 \) y \( q_2 \) están simétricamente ubicadas con respecto al eje Y.

\[
r_{13} = r_{23} = \sqrt{(0 – (-3))^2 + (4 – 0)^2} =\]

\[\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{m}
\]

Con la distancia en mano, podemos calcular la magnitud de la fuerza que cada carga \( q_1 \) y \( q_2 \) ejerce sobre \( q_3 \).

\[
F_{13} = F_{23} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{3 \times 10^{-6} \cdot 2 \times 10^{-6}}{5^2} =\]

\[9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{25} = 2.16 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

La dirección de estas fuerzas apunta hacia \( q_1 \) y \( q_2 \) debido a la atracción entre cargas opuestas. Como las fuerzas son simétricas, los componentes horizontales (eje X) de las fuerzas se cancelan, mientras que los componentes verticales (eje Y) se suman.

Descomponemos una de las fuerzas:

\[
F_{13y} = F_{13} \sin(\theta) = 2.16 \times 10^{-3} \times \frac{4}{5} = 1.728 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

Entonces, la fuerza neta en el eje Y es el doble de este valor:

\[
F_{\text{net}, y} = 2 \times 1.728 \times 10^{-3} = 3.456 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

Por lo tanto, la fuerza neta es:

\[
\mathbf{F}_{\text{net}} = -3.456 \times 10^{-3} \, \mathbf{j} \, \text{N}
\]

Caso (b): Carga negativa en el punto \( (6, 0) \)

Aquí, \( q_3 \) se encuentra en \( (6, 0) \), es decir, sobre el eje X, a la derecha de ambas cargas positivas.

Primero, calculamos las distancias:

\[
r_{13} = |6 – (-3)| = 9 \, \text{m}, \quad r_{23} = |6 – 3| = 3 \, \text{m}
\]

Ahora, las fuerzas ejercidas por \( q_1 \) y \( q_2 \):

\[
F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{81} = 0.667 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

\[
F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{9} = 6.00 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

Ambas fuerzas apuntan hacia \( q_1 \) y \( q_2 \). Sumando las fuerzas considerando sus direcciones:

\[
\mathbf{F}_{\text{net}} = 6.00 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} – 0.667 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} = 5.333 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} \, \text{N}
\]

Caso (c): Carga negativa en el punto \( (2, 0) \)

Ahora, \( q_3 \) está en \( (2, 0) \), también sobre el eje X.

Calculamos las distancias:

\[
r_{13} = |2 – (-3)| = 5 \, \text{m}, \quad r_{23} = |2 – 3| = 1 \, \text{m}
\]

Las fuerzas son:

\[
F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{25} = 2.16 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

\[
F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-12}}{1} = 54.00 \times 10^{-3} \, \text{N}
\]

Sumamos las fuerzas:

\[
\mathbf{F}_{\text{net}} = 54.00 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} – 2.16 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} = 51.84 \times 10^{-3} \, \mathbf{i} \, \text{N}
\]

Caso (d): Carga negativa en el origen

Finalmente, \( q_3 \) está en \( (0, 0) \), justo en el centro entre \( q_1 \) y \( q_2 \).

Aquí, la distancia entre cada par de cargas es la misma:

\[
r_{13} = r_{23} = 3 \, \text{m}
\]

Las fuerzas son iguales y opuestas, por lo tanto se cancelan:

\[
\mathbf{F}_{\text{net}} = 0 \, \text{N}
\]

Saludos