a) Cálculo del Potencial en los Puntos A y B

Potencial en el Punto A:

El potencial eléctrico en un punto debido a una carga puntual se calcula mediante la fórmula:

$$
V = k \cdot \frac{q}{r}
$$

\(k\) es la constante de Coulomb, \(k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\),
\(q\) es la carga que genera el potencial,
\(r\) es la distancia desde la carga al punto donde se calcula el potencial.

En el punto \(A\), las distancias a las cargas \(q_1\) y \(q_2\) son \(R_1 = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\) y \(R_2 = 7 \, \text{cm} = 0.07 \, \text{m}\), respectivamente.

El potencial total en \(A\) es la suma de los potenciales debidos a \(q_1\) y \(q_2\):

$$
V_A = V_{q_1} + V_{q_2}
$$

Calculamos cada uno:

Potencial debido a \(q_1\) en \(A\):

$$
V_{q_1} = k \cdot \frac{q_1}{R_1} = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \times \frac{2 \times 10^{-6} \, \text{C}}{0.03 \, \text{m}} = 600 \times 10^3 \, \text{V}
$$

Potencial debido a \(q_2\) en \(A\):

$$
V_{q_2} = k \cdot \frac{q_2}{R_2} = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \times \frac{-2 \times 10^{-6} \, \text{C}}{0.07 \, \text{m}} = -257.14 \times 10^3 \, \text{V}
$$

Por lo tanto, el potencial total en \(A\) es:

$$
V_A = 600 \times 10^3 \, \text{V} + (-257.14 \times 10^3 \, \text{V}) = 342.86 \times 10^3 \, \text{V}
$$

Potencial en el Punto B:

Ahora, calculamos el potencial en el punto \(B\). Las distancias desde \(B\) a las cargas \(q_1\) y \(q_2\) son \(R_1 = 12 \, \text{cm} = 0.12 \, \text{m}\) y \(R_2 = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}\), respectivamente.

El potencial en \(B\) es:

$$
V_B = V_{q_1} + V_{q_2}
$$

Potencial debido a \(q_1\) en \(B\):

$$
V_{q_1} = k \cdot \frac{q_1}{R_1} = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \times \frac{2 \times 10^{-6} \, \text{C}}{0.12 \, \text{m}} = 150 \times 10^3 \, \text{V}
$$

Potencial debido a \(q_2\) en \(B\):

$$
V_{q_2} = k \cdot \frac{q_2}{R_2} = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \times \frac{-2 \times 10^{-6} \, \text{C}}{0.02 \, \text{m}} = -900 \times 10^3 \, \text{V}
$$

Por lo tanto, el potencial total en \(B\) es:

$$
V_B = 150 \times 10^3 \, \text{V} + (-900 \times 10^3 \, \text{V}) = -750 \times 10^3 \, \text{V}
$$

b) Diferencia de Potencial entre A y B

La diferencia de potencial entre los puntos \(A\) y \(B\) es simplemente:

$$
\Delta V = V_A – V_B
$$

Sustituyendo los valores que ya calculamos:

$$
\Delta V = 342.86 \times 10^3 \, \text{V} – (-750 \times 10^3 \, \text{V}) = 342.86 \times 10^3 \, \text{V} + 750 \times 10^3 \, \text{V} = 1092.86 \times 10^3 \, \text{V}
$$

c) Trabajo Realizado por el Campo Eléctrico

Para mover una carga \(q\) desde el punto \(A\) al punto \(B\), el trabajo realizado por el campo eléctrico viene dado por:

$$
W = q \cdot \Delta V
$$

En este caso, la carga \(q\) es \( -3 \, \mu\text{C} = -3 \times 10^{-6} \, \text{C}\), y la diferencia de potencial \(\Delta V\) ya la hemos calculado:

$$
W = (-3 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times 1092.86 \times 10^3 \, \text{V}
$$

$$
W = -3278.58 \times 10^{-3} \, \text{J} = -3.278 \, \text{J}
$$

El trabajo realizado por el campo eléctrico es negativo, lo que significa que la fuerza eléctrica y el desplazamiento de la carga están en direcciones opuestas. Esto tiene sentido, ya que estamos moviendo una carga negativa desde un punto con un potencial más alto a otro con un potencial más bajo, lo cual requiere que se realice trabajo en contra del campo eléctrico.

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