Análisis del problema:

 1. Diagrama de fuerzas:

Para \(m_1\):

– Peso: \(m_1g\) (hacia abajo)
– Normal: \(N_1\) (perpendicular al plano inclinado)
– Tensión: \(T\) (hacia arriba, a lo largo de la cuerda)
– Fricción cinética: \(f_{k1} = \mu_{k1} N_1\) (oponiéndose al movimiento, hacia arriba del plano inclinado)

Para \(m_2\):

– Peso: \(m_2g\) (hacia abajo)
– Normal: \(N_2\) (perpendicular al plano inclinado)
– Tensión: \(T\) (hacia abajo, a lo largo de la cuerda)
– Fricción cinética: \(f_{k2} = \mu_{k2} N_2\) (oponiéndose al movimiento, hacia abajo del plano inclinado)

 2. Descomposición de fuerzas:

Descomponemos las fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado.

Para \(m_1\):

– Paralela al plano: \(m_1g\sin(30^\circ)\) (hacia abajo) y \(T – f_{k1}\) (hacia arriba)
– Perpendicular al plano: \(N_1\) (hacia arriba) y \(m_1g\cos(30^\circ)\) (hacia abajo)

Para \(m_2\):

– Paralela al plano: \(m_2g\sin(30^\circ) – T – f_{k2}\) (hacia abajo)
– Perpendicular al plano: \(N_2\) (hacia arriba) y \(m_2g\cos(30^\circ)\) (hacia abajo)

3. Segunda ley de Newton:

Aplicamos la segunda ley de Newton (\(F = ma\)) a cada cuerpo en la dirección paralela al plano inclinado:

Para \(m_1\):

\[ T – f_{k1} – m_1g\sin(30^\circ) = m_1 a \]

Para \(m_2\):

\[ m_2g\sin(30^\circ) – T – f_{k2} = m_2 a \]

4. Relación entre las fuerzas de rozamiento y las normales:

Sabemos que las fuerzas de rozamiento cinético son proporcionales a las fuerzas normales:

\[ f_{k1} = \mu_{k1} N_1 \]
\[ f_{k2} = \mu_{k2} N_2 \]

Además, en equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado:

\[ N_1 = m_1g\cos(30^\circ) \]
\[ N_2 = m_2g\cos(30^\circ) \]

a) Aceleración del sistema:

Sustituimos las expresiones de las fuerzas de rozamiento y las normales en las ecuaciones de la segunda ley de Newton y resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar la aceleración \(a\):

\[ T – \mu_{k1} m_1g\cos(30^\circ) – m_1g\sin(30^\circ) = m_1 a \]

\[ m_2g\sin(30^\circ) – T – \mu_{k2} m_2g\cos(30^\circ) = m_2 a \]

Sumando ambas ecuaciones, eliminamos la tensión \(T\) y obtenemos:

\[ a = \frac{g (m_2 \sin(30^\circ) – \mu_{k1} m_1 \cos(30^\circ) – \mu_{k2} m_2 \cos(30^\circ))}{m_1 + m_2} \]

Sustituyendo los valores numéricos:

\[ a = \frac{9.8 (3 \cdot 0.5 – 0.2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – 0.4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{2 + 3} \]

\[ a \approx 2.18 \, \text{m/s}^2 \]

 b) Tensión de la cuerda:

Sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las ecuaciones de la segunda ley de Newton para encontrar la tensión \(T\). Usando la ecuación para \(m_1\):

\[ T = m_1 a + \mu_{k1} m_1g\cos(30^\circ) + m_1g\sin(30^\circ) \]

Sustituyendo los valores numéricos:

\[ T = 2 \cdot 2.18 + 0.2 \cdot 2 \cdot 9.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 9.8 \cdot 0.5 \]

\[ T \approx 20.02 \, \text{N} \]

Observaciones en problemas de masas conectadas

En problemas de masas conectadas por cuerdas o algún otro medio, siempre nos encontraremos con un sistema de ecuaciones acopladas. Esto se debe a que las fuerzas que actúan sobre cada masa no son independientes, sino que están relacionadas a través de la tensión en la cuerda (o el elemento que las conecta).

¿Por qué se acoplan las ecuaciones?

Imagina que las masas fueran independientes. En ese caso, podríamos analizar el movimiento de cada una por separado, aplicando la segunda ley de Newton individualmente. Sin embargo, cuando las masas están conectadas, la tensión en la cuerda actúa como una fuerza interna que «comunica» el movimiento de una masa a la otra.

Si una masa acelera, la otra también lo hará, aunque quizás con una aceleración diferente.

La tensión en la cuerda es la misma para ambas masas, ya que la cuerda es inextensible y no tiene masa (en nuestro modelo idealizado).

Por lo tanto, para describir el movimiento de todo el sistema, necesitamos considerar ambas masas y las fuerzas que actúan sobre ellas, incluyendo la tensión, que es la misma para ambas. Esto nos lleva inevitablemente a un sistema de ecuaciones acopladas, donde las incógnitas son las aceleraciones de cada masa y la tensión en la cuerda.

¿Cómo resolvemos estos sistemas?

En general, tenemos dos enfoques principales para resolver sistemas de ecuaciones acopladas en problemas de masas conectadas, pero los métodos son los mismos que utilizamos para resolver sistemas de ecuaciones en matemáticas

1. Sustitución: Despejamos una incógnita (por ejemplo, la tensión) de una de las ecuaciones y la sustituimos en la otra. Esto nos deja con una única ecuación con una incógnita, que podemos resolver. Luego, sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra incógnita.

2. Eliminación o reducción: Sumamos o restamos las ecuaciones de manera que una de las incógnitas se elimine. Esto nos permite resolver directamente para la otra incógnita. Luego, sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la incógnita eliminada.

En el problema que resolvimos, usamos el método de eliminación al sumar las dos ecuaciones para eliminar la tensión y encontrar la aceleración.

¿Siempre se acoplan las ecuaciones de la misma manera?

No necesariamente. La forma en que se acoplan las ecuaciones dependerá de la configuración del problema. Por ejemplo:

Masas en un plano horizontal: Si las masas están conectadas por una cuerda horizontal, la tensión aparecerá en ambas ecuaciones con signos opuestos.
Poleas: Si hay poleas involucradas, la tensión puede ser diferente en cada tramo de la cuerda, lo que complica un poco el análisis.
Más de dos masas: Si hay más de dos masas conectadas, tendremos más ecuaciones y más incógnitas, pero el principio de acoplamiento sigue siendo el mismo.

Puedes ver mas problemas de masas conectadas  o mirar los ejercicios relacionados mas abajo. Un saludo