Solución verificada por expertos 

Datos:
– Radio de la primera esfera, \( r_1 = 9 \, \text{cm} = 0.09 \, \text{m} \)
– Radio de la segunda esfera, \( r_2 = 4.5 \, \text{cm} = 0.045 \, \text{m} \)
– Potencial de la primera esfera, \( V_1 = 10 \, \text{V} \)
– Potencial de la segunda esfera, \( V_2 = 20 \, \text{V} \)
– Distancia entre los centros de las esferas, \( d = 10 \, \text{m} \)
– Constante de Coulomb, \( k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \)

a) Cálculo de la carga en cada esfera

Vamos a comenzar resolviendo la carga en cada esfera usando la relación entre el potencial eléctrico \( V \), la carga \( q \) y el radio de la esfera conductora \( r \). Para una esfera conductora, la relación entre el potencial y la carga se da por la fórmula:

$$
V = \frac{k \cdot q}{r}
$$

De esta fórmula, podemos despejar la carga \( q \) en función del potencial y el radio:

$$
q = \frac{V \cdot r}{k}
$$

Primero, calculamos la carga en la primera esfera \( q_1 \):

$$
q_1 = \frac{V_1 \cdot r_1}{k} = \frac{10 \, \text{V} \times 0.09 \, \text{m}}{9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2}
$$

Realizando la operación:

$$
q_1 = \frac{0.9 \, \text{V} \cdot \text{m}}{9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2} = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{C} = 0.1 \, \text{nC}
$$

Así, tenemos:

$$
q_1 = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{C}
$$

Ahora, calculamos la carga en la segunda esfera \( q_2 \):

$$
q_2 = \frac{V_2 \cdot r_2}{k} = \frac{20 \, \text{V} \times 0.045 \, \text{m}}{9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2}
$$

Realizando la operación:

$$
q_2 = \frac{0.9 \, \text{V} \cdot \text{m}}{9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2} = 0.081 \times 10^{-9} \, \text{C} = 0.081 \, \text{nC}
$$

Entonces:

$$
q_2 = 0.081 \times 10^{-9} \, \text{C}
$$

Hasta aquí hemos determinado que las cargas son:

– \( q_1 = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{C} \)
– \( q_2 = 0.081 \times 10^{-9} \, \text{C} \)

 b) Cálculo de la fuerza entre las esferas

Ahora que tenemos las cargas, vamos a calcular la fuerza entre las dos esferas utilizando la Ley de Coulomb, que nos dice que la fuerza entre dos cargas puntuales \( q_1 \) y \( q_2 \) separadas por una distancia \( d \) es:

$$
F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}
$$

$$
F = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \times \frac{0.1 \times 10^{-9} \, \text{C} \times 0.081 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(10 \, \text{m})^2}
$$

1. Multiplicamos las cargas:
$$
0.1 \times 10^{-9} \, \text{C} \times 0.081 \times 10^{-9} \, \text{C} = 8.1 \times 10^{-21} \, \text{C}^2
$$

2. Multiplicamos por la constante de Coulomb:
$$
F = 9 \times 10^9 \times 8.1 \times 10^{-21} = 72.9 \times 10^{-12} \, \text{N}
$$

3. Finalmente, dividimos por la distancia al cuadrado:
$$
F = \frac{72.9 \times 10^{-12}}{100} = 7.29 \times 10^{-13} \, \text{N}
$$

El valor final de la fuerza es:

$$
F = 7.29 \times 10^{-13} \, \text{N}
$$

Las cargas obtenidas \( q_1 \) y \( q_2 \) son del mismo signo, lo que implica que la fuerza entre ellas será repulsiva.

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