Dos esferas conductoras descargadas de radios R1 = 12 cm y R2 = 4 cm están separadas por una distancia mucho mayor que sus radios y conectadas mediante un alambre conductor ideal. A continuación, se sitúa una carga puntual Q =100 nC sobre una de las esferas.
Calcula:
a) El campo eléctrico en la proximidad de la superficie de cada esfera.
b) El potencial eléctrico en el centro de cada esfera conductora. (Suponemos que la carga sobre el alambre de conexión es despreciable)
Dato: k 0 9 · 109 N · m2 · C–2
Cálculo de las Cargas de las Esferas:
Comenzamos estableciendo las ecuaciones para la igualdad de potenciales y la conservación de la carga.
1. Igualdad de Potenciales:
Al estar conectadas por un alambre las dos esferas conductoras, la carga puede pasar de una esfera a otra hasta que los potenciales de ambas se igualan. Es decir V1 = V2
Utilizamos la fórmula para el potencial eléctrico (\(V\)) generado por una carga puntual (\(Q\)) a una distancia (\(r\)) de la carga, \(V = \frac{{kQ}}{{r}}\), donde \(k\) es la constante electrostática.
\[
\frac{{kQ_1}}{{R_1}} = \frac{{kQ_2}}{{R_2}}
\]
Simplificamos la expresión, cancelando \(k\) en ambos lados:
\[
\frac{{Q_1}}{{R_1}} = \frac{{Q_2}}{{R_2}}
\]
Ahora sustituimos los valores dados: \(R_1 = 0.12 \, \text{m}\) y \(R_2 = 0.04 \, \text{m}\), y resolvemos para \(Q_1\):
\[
\frac{{Q_1}}{{0.12}} = \frac{{Q_2}}{{0.04}}
\]
\[
Q_1 = 3 \times Q_2
\]
2. Principio de Conservación de Carga:
La suma de las cargas en las dos esferas debe ser igual a la carga total de \(100 \times 10^{-9} \, \text{C}\):
\[
Q_1 + Q_2 = 100 \times 10^{-9} \, \text{C}
\]
Resolvemos este sistema de ecuaciones para encontrar los valores de \(Q_1\) y \(Q_2\).
Sumando ambas ecuaciones obtenemos:
\[4 \times Q_2 = 100 \times 10^{-9} \, \text{C}\]
\[Q_2 = 25 \times 10^{-9} \, \text{C}\]
Entonces, sustituyendo \(Q_2\) en la ecuación de \(Q_1\):
\[Q_1 = 3 \times (25 \times 10^{-9}) = 75 \times 10^{-9} \, \text{C}\]
Verificamos que la suma de las cargas sea igual a la carga total:
\[Q_1 + Q_2 = 75 \times 10^{-9} + 25 \times 10^{-9} = 100 \times 10^{-9} \, \text{C}\]
Campo Eléctrico en la Proximidad de Cada Esfera:
Ver Solución Completa
Usamos la fórmula para el campo eléctrico \(E\) generado por una carga puntual (\(Q\)) a una distancia (\(r\)) de la carga, \(E = \frac{{kQ}}{{r^2}}\).
1. Para la Esfera 1:
\[
E_1 = \frac{{kQ_1}}{{R_1^2}} = \frac{{9 \times 10^9 \times 75 \times 10^{-9}}}{{(0.12)^2}} = 4.69 \times 10^4 \, \text{N/C}
\]
2. Para la Esfera 2:
\[
E_2 = \frac{{kQ_2}}{{R_2^2}} = \frac{{9 \times 10^9 \times 25 \times 10^{-9}}}{{(0.04)^2}} = 1.41 \times 10^5 \, \text{N/C}
\]
Potencial Eléctrico en el Centro de Cada Esfera:
El potencial eléctrico en el centro de cada esfera coincide con el potencial en la superficie, ya que el potencial es constante en una esfera conductora. Además, como las esferas están conectadas, el potencial es el mismo en ambas esferas. Podemos calcular el potencial para la esfera 1 y será el mismo para la esfera 2. De todas formas, vamos a calcularlo para cada una para que veas que coincide.
1. Potencial Para la Esfera 1:
\[
V_1 = \frac{{kQ_1}}{{R_1}} = \frac{{9 \times 10^9 \times 75 \times 10^{-9}}}{{0.12}} = 5625 \, \text{V}
\]
2. Potencial Para la Esfera 2:
\[
V_2 = \frac{{kQ_2}}{{R_2}} = \frac{{9 \times 10^9 \times 25 \times 10^{-9}}}{{0.04}} = 5625 \, \text{V}
\]
Sentido Físico y Solución:
– El campo eléctrico cerca de la esfera más pequeña (Esfera 2) es mayor que cerca de la esfera más grande (Esfera 1), lo cual es consistente con la relación inversa entre el campo eléctrico y el radio de la esfera.
– El potencial eléctrico en el centro de ambas esferas es el mismo, lo cual se debe a que están conectadas por un alambre conductor ideal y comparten el mismo potencial. Esto es superimportante y sucederá siempre que resolvamos problemas de esferas o cuerpos conectados.