Tenemos dos esferas, cada una con una masa de 20 g (que convertimos a kilogramos para trabajar en unidades del Sistema Internacional, es decir, \( m = 0.02 \) kg). Los hilos de los que cuelgan tienen una longitud de 0.5 m y forman un ángulo de 10° con la vertical cuando las esferas se repelen.

Dado que las esferas están en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas (la tensión del hilo, la fuerza de gravedad y la fuerza de repulsión eléctrica), nuestra misión es encontrar primero la fuerza de repulsión y luego calcular las cargas que generan esta fuerza.

Descomposición de las fuerzas

Primero, analicemos las fuerzas que actúan sobre una de las esferas. Debido a que las esferas son idénticas y cuelgan de hilos iguales, podemos estudiar una sola esfera, ya que la situación es simétrica.

Las fuerzas que actúan sobre una de las esferas son:
1. La fuerza de gravedad (\( F_g \)), que actúa hacia abajo.
2. La tensión en el hilo (\( T \)), que actúa a lo largo del hilo.
3.*La fuerza de repulsión eléctrica (\( F_e \)), que actúa horizontalmente debido a la carga de la otra esfera.

Como las esferas están en equilibrio, la suma de fuerzas en cada dirección debe ser cero. Así que descompondremos la tensión \( T \) en sus componentes horizontal y vertical:

– Componente vertical de la tensión: \( T_y = T \cos(\theta) \)
– Componente horizontal de la tensión: \( T_x = T \sin(\theta) \)

La componente vertical \( T_y \) equilibra el peso de la esfera (\( F_g = mg \)), y la componente horizontal \( T_x \) es igual en magnitud a la fuerza de repulsión eléctrica \( F_e \).

Escribimos estas relaciones como:

\[
T \cos(\theta) = mg
\]
\[
T \sin(\theta) = F_e
\]

Para encontrar \( F_e \), podemos dividir la segunda ecuación por la primera para eliminar \( T \):

\[
\frac{T \sin(\theta)}{T \cos(\theta)} = \frac{F_e}{mg}
\]

\[
\tan(\theta) = \frac{F_e}{mg}
\]

Despejando \( F_e \):

\[
F_e = mg \tan(\theta)
\]

Ahora, sustituyamos los valores conocidos:

\[
F_e = 0.02 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times \tan(10^\circ)
\]

Primero, calculamos \( \tan(10^\circ) \):

\[
\tan(10^\circ) \approx 0.1763
\]

Luego, multiplicamos:

\[
F_e = 0.02 \times 9.81 \times 0.1763 \approx 0.0346 \, \text{N}
\]

Por lo tanto, la fuerza con que se repelen las cargas es aproximadamente \( F_e \approx 0.0346 \, \text{N} \).

Determinando la magnitud de las cargas

Para encontrar las cargas, utilizamos la ley de Coulomb, que nos dice que la fuerza entre dos cargas puntuales es:

\[
F_e = k \frac{q^2}{r^2}
\]

\( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \) es la constante de Coulomb.
\( q \) es la magnitud de cada carga.
\( r \) es la distancia entre las cargas.

Primero, encontramos la distancia \( r \). Si los hilos forman un ángulo de 10° con la vertical, entonces \( r \) es el doble de la distancia horizontal desde cada esfera al punto de suspensión, que podemos encontrar usando trigonometría:

\[
r = 2 \times (0.5 \, \text{m} \times \sin(10^\circ)) \approx 2 \times (0.5 \times 0.1736) \approx 0.1732 \, \text{m}
\]

Ahora, despejamos \( q \) de la ley de Coulomb:

\[
q^2 = \frac{F_e r^2}{k}
\]

\[
q = \sqrt{\frac{F_e r^2}{k}}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
q = \sqrt{\frac{0.0346 \, \text{N} \times (0.1732 \, \text{m})^2}{8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2}}
\]

\[
q \approx \sqrt{\frac{0.0346 \times 0.03}{8.99 \times 10^9}} \approx \sqrt{\frac{0.001038}{8.99 \times 10^9}} \approx \sqrt{1.155 \times 10^{-13}} \approx 3.4 \times 10^{-7} \, \text{C}
\]

Por lo tanto, la magnitud de cada carga es \( q \approx 3.4 \times 10^{-7} \, \text{C} \).