Cuando las esferas son cargadas con cargas del mismo signo (ambas negativas), se genera una fuerza de repulsión eléctrica entre ellas. Esta fuerza es la responsable de que los hilos que sostienen las esferas se separen, hasta que finalmente alcanzan una posición de equilibrio donde cada hilo forma un ángulo de 45° con la vertical.

En esta situación de equilibrio, sobre cada esfera actúan tres fuerzas:
1. La fuerza de gravedad (\( F_g \)): que actúa hacia abajo.
2. La tensión del hilo (\( T \)): que tiene una componente vertical (\( T_y \)) y una componente horizontal (\( T_x \)).
3. La fuerza eléctrica de repulsión (\( F_e \)): que actúa horizontalmente, alejando las esferas una de otra.

Ley de Coulomb y situación de equilibrio

Para resolver este problema, necesitamos aplicar la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cargas. La ley de Coulomb nos dice que la fuerza entre dos cargas \( Q \) y \( Q \) (ambas iguales en este caso) separadas por una distancia \( r \) es:

\[
F_e = \frac{K \cdot Q^2}{r^2}
\]

\( K = 9 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2 \) es la constante de Coulomb.

Pero antes de seguir con los cálculos, consideremos el equilibrio de una de las esferas. Para simplificar el problema, estudiamos solo una de las esferas, ya que la situación es idéntica para la otra.

Equilibrio en los ejes X y Y

Primero, consideremos las fuerzas en la dirección vertical (eje Y). En equilibrio, la suma de fuerzas en esta dirección debe ser cero. La única fuerza que actúa hacia abajo es el peso de la esfera, \( F_g \), y debe ser equilibrada por la componente vertical de la tensión \( T_y \):

\[
T_y = F_g
\]

Sabemos que el peso de la esfera \( F_g \) es 4 N, y \( T_y \) se relaciona con la tensión total \( T \) por la siguiente relación trigonométrica:

\[
T_y = T \cdot \cos(\theta)
\]

Donde \( \theta = 45^\circ \). Por lo tanto:

\[
T \cdot \cos(45^\circ) = 4 \, \text{N}
\]

Como \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
T \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{N} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{4 \times \sqrt{2}}{2} \, \text{N} = 4\sqrt{2} \, \text{N}
\]

A continuación, consideremos las fuerzas en la dirección horizontal (eje X). En equilibrio, la fuerza de repulsión eléctrica \( F_e \) debe ser igual a la componente horizontal de la tensión \( T_x \):

\[
T_x = F_e
\]

Sabemos que:

\[
T_x = T \cdot \sin(45^\circ)
\]

Y como \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
T_x = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{N}
\]

Relación entre la fuerza eléctrica y la distancia

La fuerza eléctrica \( F_e \) es la que mantiene las esferas separadas, y la distancia \( r \) entre ellas es fundamental. Esta distancia no se da directamente, pero podemos calcularla sabiendo que los hilos se separan formando un ángulo de 45°. El triángulo formado por los hilos y la línea que une las esferas es isósceles.

La separación horizontal entre las esferas (que es la base del triángulo isósceles) se puede calcular usando trigonometría simple. Si \( L \) es la longitud de cada hilo (5 cm = 0.05 m), entonces la mitad de la distancia \( r/2 \) es:

\[
\frac{r}{2} = L \cdot \sin(45^\circ) = 0.05 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.05 \times 0.7071 \approx 0.03535 \, \text{m}
\]

Por lo tanto, la distancia total entre las esferas es:

\[
r = 2 \times 0.03535 = 0.0707 \, \text{m}
\]

Ahora que tenemos todos los valores necesarios, sustituimos en la ecuación de Coulomb para encontrar la carga \( Q \):

\[
F_e = \frac{K \cdot Q^2}{r^2}
\]

Sabemos que \( F_e = T_x = 4 \, \text{N} \), \( r = 0.0707 \, \text{m} \) y \( K = 9 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2 \). Despejando \( Q^2 \):

\[
4 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{(0.0707)^2}
\]

Resolviendo para \( Q^2 \):

\[
Q^2 = \frac{4 \times (0.0707)^2}{9 \times 10^9}
\]

\[
Q^2 = \frac{4 \times 0.005}{9 \times 10^9} = \frac{0.02}{9 \times 10^9} \approx 2.22 \times 10^{-12} \, \text{C}^2
\]

Finalmente, tomando la raíz cuadrada para obtener \( Q \):

\[
Q \approx \sqrt{2.22 \times 10^{-12}} \approx 1.49 \times 10^{-6} \, \text{C}
\]

SOLUCIÓN:

La carga en cada esfera es aproximadamente \( Q \approx 1.49 \times 10^{-6} \, \text{C} \), con signo negativo. Este es el valor que causa la repulsión suficiente para que los hilos se separen y formen un ángulo de 45° con la vertical.