Vamos a utilizar las leyes del movimiento rotacional para resolver el problema. Vamos a situar todos los datos que tenemos del problema.

– Velocidades angulares iniciales:
– Rueda 1: \( \omega_{10} = 120 \, \text{rpm} = 4\pi \, \text{rad/s} \)
– Rueda 2: \( \omega_{20} = 240 \, \text{rpm} = 8\pi \, \text{rad/s} \)

– Radios:
– Rueda 1: \( r_1 = 0.2 \, \text{m} \)
– Rueda 2: \( r_2 = 0.4 \, \text{m} \)

– Tiempos de frenado:
– Rueda 1: \( t_1 = 16 \, \text{s} \)
– Rueda 2: \( t_2 = 8 \, \text{s} \)

 Aceleraciones angulares

– Para la rueda 1:
– \( \omega_1 = \omega_{10} + \alpha_1 \cdot t \)
– \( 0 = 4\pi + \alpha_1 \cdot 16 \)
– \( \alpha_1 = -\frac{\pi}{4} \, \text{rad/s}^2 \)

– Para la rueda 2:
– \( \omega_2 = \omega_{20} + \alpha_2 \cdot t \)
– \( 0 = 8\pi + \alpha_2 \cdot 8 \)
– \( \alpha_2 = -\pi \, \text{rad/s}^2 \)

Instante en que Ambas Ruedas Tienen la Misma Velocidad Angular

El siguiente paso es encontrar el tiempo en que ambas ruedas tienen la misma velocidad angular. Sabemos que la velocidad angular para cada rueda en cualquier instante \( t \) viene dada por:

– Para la rueda 1: \( \omega_1 = 4\pi + \left(-\frac{\pi}{4}\right)t \)
– Para la rueda 2: \( \omega_2 = 8\pi + (-\pi) t \)

Igualando estas ecuaciones:

\[
4\pi – \frac{\pi}{4}t = 8\pi – \pi t
\]

Simplificando:

\[
4\pi = 8\pi – \pi t + \frac{\pi}{4}t
\]

\[
\pi t – \frac{\pi}{4}t = 4\pi
\]

\[
\frac{3\pi}{4}t = 4\pi
\]

\[
t = \frac{16}{3} \, \text{s}
\]

Entonces, las ruedas tienen la misma velocidad angular después de \( \frac{16}{3} \, \text{s} \).

 Instante en que un Punto en la Periferia Tiene la Misma Velocidad Lineal

La velocidad lineal de un punto en la periferia de una rueda se calcula como:

\[
v = r \cdot \omega
\]

Igualando las velocidades lineales:

\[
r_1 \cdot \omega_1 = r_2 \cdot \omega_2
\]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[
0.2 \cdot \left(4\pi – \frac{\pi}{4}t\right) = 0.4 \cdot \left(8\pi – \pi t\right)
\]

Simplificando:

\[
0.8\pi – 0.05\pi t = 3.2\pi – 0.4\pi t
\]

\[
0.35\pi t = 2.4\pi
\]

\[
t = \frac{48}{7} \, \text{s}
\]

Por lo tanto, un punto en la periferia de ambas ruedas tiene la misma velocidad lineal después de \( \frac{48}{7} \, \text{s} \).

 Aceleraciones Tangenciales y Normales en el Instante del Mismo \( v \)

Aceleración tangencial:
– Rueda 1: \( a_{t1} = r_1 \cdot \alpha_1 = 0.2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -0.157 \, \text{m/s}^2 \)
– Rueda 2: \( a_{t2} = r_2 \cdot \alpha_2 = 0.4 \cdot (-\pi) = -1.257 \, \text{m/s}^2 \)

Aceleración normal:
– Rueda 1: \( a_{n1} = r_1 \cdot \omega_1^2 = 0.2 \cdot \left(4\pi – \frac{\pi}{4}\cdot \frac{48}{7}\right)^2 \)
– Rueda 2: \( a_{n2} = r_2 \cdot \omega_2^2 = 0.4 \cdot \left(8\pi – \pi \cdot \frac{48}{7}\right)^2 \)

– Para la rueda 1: \( a_{n1} \approx 10.31 \, \text{m/s}^2 \)
– Para la rueda 2: \( a_{n2} \approx 5.15 \, \text{m/s}^2 \)

Ángulo Girado por Cada Rueda

El ángulo girado \( \theta \) se calcula integrando la ecuación de movimiento angular:

– Rueda 1:
\[
\theta_1 = \omega_{10} \cdot t + \frac{1}{2} \alpha_1 \cdot t^2
\]

– Sustituyendo los valores para \( t = \frac{16}{3} \, \text{s} \):

\[
\theta_1 = 4\pi \cdot \frac{16}{3} + \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{16}{3}\right)^2
\]

– Rueda 2:
\[
\theta_2 = \omega_{20} \cdot t + \frac{1}{2} \alpha_2 \cdot t^2
\]

– Sustituyendo los valores para \( t = \frac{16}{3} \, \text{s} \):

\[
\theta_2 = 8\pi \cdot \frac{16}{3} + \frac{1}{2} (-\pi) \cdot \left(\frac{16}{3}\right)^2
\]

Saludos!