Dos vehículos separados 10 km parten al encuentro simultáneamente. El primero lo hace con una velocidad inicial constante de 9 km/h. el segundo parte desde el reposo y con una aceleración de 0,4 m/s². Determinar:
a) A qué distancia de la salida del primer vehículo se encuentran
SOLUCIÓN: \[ x’ = 10,000 – 0.2 \times 217.444^2 = 543.6 \, \text{m} \]
SOLUCIÓN DETALLADA:
Para resolver este problema, primero necesitamos establecer las posiciones de ambos vehículos en función del tiempo. Además las velocidades las expresamos en unidades del SI
Sea \(x\) la posición del primer vehículo y \(x’\) la posición del segundo vehículo.
Para el primer vehículo, que se mueve con velocidad constante, la posición en función del tiempo está dada por la ecuación de movimiento:
\[ x = v t \]
Donde \(v\) es la velocidad constante del primer vehículo y \(t\) es el tiempo.
Para el segundo vehículo, que parte del reposo y tiene una aceleración constante, la posición en función del tiempo está dada por la ecuación de movimiento para el movimiento uniformemente acelerado:
\[ x’ = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]
Donde \(x_0\) es la posición inicial del segundo vehículo (en este caso, 10,000 m), \(v_0\) es la velocidad inicial (0 m/s, ya que parte del reposo), \(a\) es la aceleración y \(t\) es el tiempo.
Establecemos la condición de encuentro, es decir, cuando las posiciones de ambos vehículos son iguales:
\[ x = x’ \]
Esto nos lleva a la ecuación:
\[ v t = x_0 + \frac{1}{2} a t^2 \]
Sustituyendo los valores dados:
\[ 2.5 t = 10,000 + 0.2 t^2 \]
Rearreglando esta ecuación cuadrática, obtenemos:
\[ 0.2 t^2 + 2.5 t – 10,000 = 0 \]
Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos el valor de \(t\), que resulta ser \(217.444 \, \text{s}\).
Para este instante de tiempo, podemos encontrar la posición \(x\) del primer vehículo:
\[ x = 2.5 \times 217.444 = 543.5 \, \text{m} \]
Verificamos la posición del segundo vehículo en este instante:
\[ x’ = 10,000 – 0.2 \times 217.444^2 = 543.6 \, \text{m} \]
Hay una ligera diferencia entre las posiciones y se debe a la aproximación en el cálculo del tiempo en la raiz cuadrada.