Datos iniciales:
– Volumen de agua diario: \(V = 4,2 \times 10^3\) m³
– Altura a la que se debe elevar el agua: \(h = 85\) m
– Densidad del agua: \(\rho = 1000\) kg/m³
– Gravedad: \(g = 9,8\) m/s²

a) Cálculo del trabajo diario que hay que realizar:

Primero, necesitamos calcular la masa (\(m\)) del agua que se eleva diariamente. Utilizamos la relación entre masa, volumen y densidad:
\[ m = V \cdot \rho \]

\[ m = 4,2 \times 10^3 \text{ m}^3 \times 1000 \text{ kg/m}^3 \]
\[ m = 4,2 \times 10^6 \text{ kg} \]

A ver esto tampoco es que sea necesario, solamente utilizando factores de conversión ( 1 dm³ de agua es 1 litro que es igual a 1kg) podemos obtener la masa, pero vamos a utilizar el procedimiento correctamente, que el profesor sepa que sabemos un montón de física.

Con la masa calculada, pasamos a encontrar el trabajo (\(W\)) realizado para elevar el agua a la altura \(h\). El trabajo en elevar el agua es igual a la energía potencial gravitatoria (\(E_p\)) porque todo el trabajo se emple en elevar verticalmente el agua:
\[ W = E_p = m \cdot g \cdot h \]

Sustituyendo los valores:
\[ W = 4,2 \times 10^6 \text{ kg} \times 9,8 \text{ m/s}^2 \times 85 \text{ m} \]

\[ W = 4,2 \times 10^6 \times 9,8 \times 85 \]
\[ W = 3,4998 \times 10^9 \text{ J} \]

Redondeando, obtenemos:
\[ W \approx 3,5 \times 10^9 \text{ J} \]

Solución:
El trabajo diario necesario para elevar el agua es de aproximadamente \(3,5 \times 10^9\) julios.

b) Cálculo de la potencia de las bombas:

La potencia (\(P\)) se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. En este caso, necesitamos calcular la potencia de las bombas que elevan el agua continuamente durante un día (86,400 segundos). No te olvides de pasar el tiempo a segundos que es la unidad empleada en el sitema internacional S.I.

La fórmula para la potencia es:
\[ P = \frac{W}{t} \]

Sustituyendo los valores:

– \(W\) es el trabajo diario: \(3,5 \times 10^9\) J
– \(t\) es el tiempo en segundos por día: \(86,400\) s

\[ P = \frac{3,5 \times 10^9 \text{ J}}{86,400 \text{ s}} \]

\[ P = 4,050 \times 10^4 \text{ W} \]

Ahora, tenemos que pasar la potencia a caballos de vapor (CV), donde \(1 \text{ CV} \approx 735.5 \text{ W}\):
\[ P \approx \frac{4,050 \times 10^4 \text{ W}}{735.5} \]
\[ P \approx 55 \text{ CV} \]

Solución
La potencia de las bombas necesarias para elevar el agua es de aproximadamente \(4,05 \times 10^4\) W, lo que equivale a 55 CV.