Nos dan las ecuaciones de la posición en función del tiempo \( t \):

\[
x(t) = 3t^2 + 2t
\]
\[
y(t) = 2t^3 + 5
\]
\[
z(t) = 2t + 6
\]

Estas ecuaciones nos dicen cómo cambian las coordenadas \( x \), \( y \) y \( z \) del cuerpo a medida que pasa el tiempo.

1. Encontrar la velocidad

La velocidad en física es una magnitud vectorial que indica qué tan rápido y en qué dirección cambia la posición de un objeto. Matemáticamente, se define como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Dado que la posición se describe por las ecuaciones anteriores, derivaremos cada una de ellas con respecto al tiempo para obtener las componentes de la velocidad.

Derivada de \( x(t) \):

\[
v_x(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(3t^2 + 2t\right)
\]
Aplicamos la regla de la potencia y la linealidad de la derivada:
\[
v_x(t) = 6t + 2
\]

Derivada de \( y(t) \):

\[
v_y(t) = \frac{dy(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2t^3 + 5\right)
\]
Aplicamos la misma regla:
\[
v_y(t) = 6t^2
\]

Derivada de \( z(t) \):

\[
v_z(t) = \frac{dz(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2t + 6\right)
\]
Aquí la derivada es directa:
\[
v_z(t) = 2
\]

Ahora, sustituimos \( t = 2 \) segundos en las expresiones obtenidas para las componentes de la velocidad:

\[
v_x(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \, \text{m/s}
\]
\[
v_y(2) = 6(2^2) = 6(4) = 24 \, \text{m/s}
\]
\[
v_z(2) = 2 \, \text{m/s}
\]

La velocidad total \( \mathbf{v}(t) \) es el vector formado por estas componentes:

\[
\mathbf{v}(2) = (14 \, \text{m/s}, 24 \, \text{m/s}, 2 \, \text{m/s})
\]

2. Magnitud de la velocidad

La magnitud de la velocidad, también conocida como el módulo del vector velocidad, se calcula usando la fórmula:

\[
|\mathbf{v}(2)| = \sqrt{v_x(2)^2 + v_y(2)^2 + v_z(2)^2}
\]
Sustituimos los valores calculados:

\[
|\mathbf{v}(2)| = \sqrt{14^2 + 24^2 + 2^2}
\]
\[
|\mathbf{v}(2)| = \sqrt{196 + 576 + 4} = \sqrt{776} \approx 27.86 \, \text{m/s}
\]

3. Encontrar la aceleración

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, y nos dice cómo cambia la velocidad del cuerpo. Procedemos a derivar las componentes de la velocidad.

Derivada de \( v_x(t) \):

\[
a_x(t) = \frac{dv_x(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(6t + 2\right)
\]
La derivada es:
\[
a_x(t) = 6 \, \text{m/s}^2
\]

Derivada de \( v_y(t) \):

\[
a_y(t) = \frac{dv_y(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(6t^2\right)
\]
Aplicamos la regla de la potencia:
\[
a_y(t) = 12t \, \text{m/s}^2
\]

Derivada de \( v_z(t) \):

\[
a_z(t) = \frac{dv_z(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(2\right)
\]
Como \( v_z(t) \) es constante, su derivada es:
\[
a_z(t) = 0 \, \text{m/s}^2
\]

Sustituyendo \( t = 2 \) segundos en las expresiones de la aceleración:

\[
a_x(2) = 6 \, \text{m/s}^2
\]
\[
a_y(2) = 12(2) = 24 \, \text{m/s}^2
\]
\[
a_z(2) = 0 \, \text{m/s}^2
\]

La aceleración total \( \mathbf{a}(t) \) en \( t = 2 \) segundos es:

\[
\mathbf{a}(2) = (6 \, \text{m/s}^2, 24 \, \text{m/s}^2, 0 \, \text{m/s}^2)
\]

4. Cosenos directores

Finalmente, los cosenos directores de la velocidad, que son los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes \( x \), \( y \) y \( z \), se calculan como:

\[
\cos(\alpha) = \frac{v_x}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{v_y}{|\mathbf{v}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{v_z}{|\mathbf{v}|}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\cos(\alpha) = \frac{14}{27.86} \approx 0.5026
\]
\[
\cos(\beta) = \frac{24}{27.86} \approx 0.8616
\]
\[
\cos(\gamma) = \frac{2}{27.86} \approx 0.0718
\]

Solución final

Hemos calculado la velocidad, la aceleración y los cosenos directores de un cuerpo que se mueve en tres dimensiones a partir de las ecuaciones de su posición. Para \( t = 2 \) segundos:

– La velocidad es \( \mathbf{v}(2) = (14, 24, 2) \) m/s con un módulo de aproximadamente 27.86 m/s.
– La aceleración es \( \mathbf{a}(2) = (6, 24, 0) \) m/s².
– Los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes \( x \), \( y \) y \( z \) son aproximadamente 0.5026, 0.8616 y 0.0718 respectivamente.

Saludos