La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape de la atracción gravitatoria de otro cuerpo sin ser frenado.

Dada la relación de masa y radio entre el planeta y la Tierra, podemos usar la fórmula para la velocidad de escape \( V_e \) en función de la masa \( M \) y el radio \( R \):

\[ V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

Para simplificar, denotemos \( M_p \) como la masa del planeta y \( R_p \) como su radio. De manera similar, \( M_t \) será la masa de la Tierra y \( R_t \) su radio. Según el enunciado, se nos dice que \( R_p = \frac{1}{3} R_t \) y \( M_p = \frac{1}{2} M_t \).

Sustituyendo estos valores en la fórmula de la velocidad de escape, obtenemos:

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{2G \left(\frac{1}{2}M_t\right)}{\frac{1}{3}R_t}} \]

Ahora, simplificamos la expresión:

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{2G \cdot \frac{1}{2}M_t}{\frac{1}{3}R_t}} \]

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{2G \cdot M_t}{\frac{1}{3}R_t}} \]

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2G \cdot M_t}{R_t}} \]

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2G \cdot M_t}{R_t}} \]

\[ V_{e,p} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot V_{e,t} \]

Donde \( V_{e,t} \) es la velocidad de escape de la Tierra. Por lo tanto, la velocidad de escape del planeta es \( \sqrt{\frac{3}{2}} \) veces la velocidad de escape de la Tierra. mas o menos 1,22 veces mayor

Un momento, si  el radio del planeta es la tercera parte del radio terrestre, y su masa es la mitad de la masa terrestre cómo es posible que la velocidad de escape sea mayor que la de la Tierra??

Para entenderlo, debemos analizar cómo la relación entre la masa y el radio del planeta afecta su velocidad de escape.

1. Masa del planeta: Si la masa del planeta es la mitad de la masa de la Tierra, significa que su gravedad es más débil. Esto porque hay menos masa ejerciendo atracción gravitacional sobre un objeto en la superficie del planeta.

2. Radio del planeta: Si el radio del planeta es la tercera parte del radio terrestre, esto implica que el planeta es más pequeño que la Tierra. Un planeta más pequeño tindica que la gravedad es más débil.

Ahora, la clave para entender por qué la velocidad de escape en este planeta es \( \sqrt{\frac{3}{2}} \) veces mayor que en la Tierra radica en cómo la fórmula de la velocidad de escape combina masa y radio.

La fórmula nos dice que la velocidad de escape es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio del cuerpo celeste, y directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa.

\[ V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

Entonces, aunque la gravedad en el planeta es más débil debido a su masa más pequeña y su radio más pequeño, la relación entre estos dos factores específicos hace que la velocidad de escape sea relativamente mayor.