El vector posición de un punto en función del tiempo, viene dado por:
r(t)= t·i + (t2+2) j (S.I.)
Calcular:
a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.
b) El ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t=2 s.
c) La aceleración media entre 0 y 2 segundos.
Para resolver este problema, primero calcularemos la posición, velocidad y aceleración en el instante t=2s.
a) Para la posición, sustituimos t=2s en la función dada:
\[ r(2) = 2i + (2^2+2)j = 2i + 6j \]
La posición en t=2s es: \( r(2) = 2i + 6j \) (m).
Para la velocidad,
derivamos la función de posición respecto al tiempo:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(t\hat{i} + (t^2+2)\hat{j}) = \hat{i} + 2t\hat{j} \]
Sustituyendo t=2s:
\[ \vec{v}(2) = \hat{i} + 2(2)\hat{j} = \hat{i} + 4\hat{j} \]
La velocidad en t=2s es: \( \vec{v}(2) = \hat{i} + 4\hat{j} \) (m/s).
Para la aceleración, derivamos la función de velocidad respecto al tiempo:
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\hat{i} + 2t\hat{j}) = 2\hat{j} \]
La aceleración es constante y su valor es: \( \vec{a}(t) = 2\hat{j} \) (m/s²).
b) Calcularemos el ángulo entre el vector velocidad y aceleración en t=2s. Representamos los vectores y aplicamos la tangente del ángulo:
\[ \tan{\alpha} = \frac{4}{1} \]
\[ \alpha = \arctan{\frac{1}{4}} = 14.04° \]
c) Dado que la aceleración es constante, su valor medio es el mismo que el valor de la aceleración en cualquier instante, que es 2 m/s².