Para resolver este problema, primero necesitamos recordar algunas fórmulas importantes de la física cuántica.

a) La longitud de onda de una radiación está relacionada con la energía asociada a ella a través de la relación \( \lambda = \frac{hc}{\Delta E} \), donde \( h \) es la constante de Planck (\(6.624 \times 10^{-34} \) J s), \( c \) es la velocidad de la luz (\(3 \times 10^8 \) m/s) y \( \Delta E \) es la diferencia de energía.

Calculamos la longitud de onda:
\[ \lambda = \frac{(6.624 \times 10^{-34} \, \text{J s})(3 \times 10^8 \, \text{m/s})}{4.6 \times 10^{-19} \, \text{J}} = 4.3 \times 10^{-7} \, \text{m} \]

b) Utilizamos la ecuación empírica de Rydberg:
\[ k = R \left( \frac{1}{n_1^2} – \frac{1}{n_2^2} \right) \]
Donde \( k = \frac{1}{\lambda} \) es el número de ondas, \( R \) es la constante de Rydberg (\(1.097 \times 10^7 \) m\(^{-1}\)), y \( n_1 \) y \( n_2 \) son los números cuánticos de los niveles de energía inicial y final respectivamente.

Despejamos \( n_1 \) de la ecuación y sustituimos los valores conocidos:
\[ \frac{1}{4.3 \times 10^{-7} \, \text{m}} = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \left( \frac{1}{n_1^2} – \frac{1}{5^2} \right) \]

Resolviendo para \( n_1 \):
\[ n_1^2 = \frac{1}{\left(1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\right) \left( \frac{1}{4.3 \times 10^{-7} \, \text{m}} + \frac{1}{5^2} \right)} \]
\[ n_1^2 = \frac{1}{\left(1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1}\right) \left( 2.33 \times 10^6 \, \text{m}^{-1} \right)} \]
\[ n_1^2 = \frac{1}{2.55} \times 10^6 \, \text{m}^{-2} \]
\[ n_1 \approx 2 \]

Por lo tanto, el número cuántico del nivel inferior es \( n_1 = 2 \).

Para ampliar

La ecuación empírica de Rydberg es una relación matemática que describe las líneas espectrales en el espectro de emisión y absorción de los átomos de hidrógeno y otros átomos hidrogenoides. Esta ecuación fue propuesta por el físico sueco Johannes Rydberg en 1888 y se basa en observaciones experimentales de las series espectrales del hidrógeno.

La forma general de la ecuación de Rydberg es:

\[ k = R \left( \frac{1}{{n_1}^2} – \frac{1}{{n_2}^2} \right) \]

– \( k \) es el número de ondas, inverso de la longitud de onda de la radiación.
– \( R \) es la constante de Rydberg, que tiene un valor aproximado de \( 1.097 \times 10^7 \) m\(^{-1}\).
– \( n_1 \) y \( n_2 \) son los números cuánticos de los niveles de energía inicial y final, respectivamente.

Esta ecuación es especialmente útil para predecir las longitudes de onda de las líneas espectrales en el espectro del átomo de hidrógeno cuando un electrón realiza una transición entre dos niveles de energía. Los valores de \( n_1 \) y \( n_2 \) deben ser enteros positivos, donde \( n_1 \) es el nivel de energía inicial del electrón y \( n_2 \) es el nivel de energía final.