En la cima de la montaña rusa el coche con sus ocupantes ( masas = 1000k kg) está a una altura del suelo de 40 m y lleva una velocidad de 5 m/s. Suponiendo que no hay rozamientos:
Calcula la energía cinética del coche cuando está en la segunda cima, que tiene una altura de 20 m
Conservación de la Energía Mecánica
La energía mecánica total (\( E_m \)) de un sistema aislado, como el que nos describe el problema, (sin rozamientos ni otras fuerzas externas) se mantiene constante. Esta energía es la suma de la energía cinética (\( E_c \)) y la energía potencial gravitatoria (\( E_p \)):
\[
E_m = E_c + E_p
\]
En dos puntos diferentes, \( A \) y \( B \), del recorrido, la energía mecánica se mantiene igual:
\[
E_mA = E_mB
\]
Donde:
– \( E_cA \) es la energía cinética en la cima A (inicial).
– \( E_pA \) es la energía potencial en la cima A.
– \( E_cB \) es la energía cinética en la cima B (segunda cima).
– \( E_pB \) es la energía potencial en la cima B.
Energías en los Puntos A y B
Aplicando la Conservación de la Energía
En el punto A (la primera cima):
– \( E_cA = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \, \text{kg} \times (5 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 25 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 12500 \, \text{J} \)
– \( E_pA = m g h_1 = 1000 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 40 \, \text{m} = 392000 \, \text{J} \)
La energía mecánica total en A es:
\[
E_mA = E_cA + E_pA = 12500 \, \text{J} + 392000 \, \text{J} = 404500 \, \text{J}
\]
En el punto B (la segunda cima), la energía mecánica total debe ser la misma, pero se distribuye entre la nueva energía cinética y la nueva energía potencial:
\[
E_mB = E_cB + E_pB
\]
Sabemos que \( E_mA = E_mB \), así que:
\[
E_cB + E_pB = 404500 \, \text{J}
\]
La energía potencial en B es:
\[
E_pB = m g h_2 = 1000 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m} = 196000 \, \text{J}
\]
Sustituyendo en la ecuación de conservación:
\[
E_cB + 196000 \, \text{J} = 404500 \, \text{J}
\]
Despejando para \( E_cB \):
\[
E_cB = 404500 \, \text{J} – 196000 \, \text{J} = 208500 \, \text{J}
\]
Conclusión
La energía cinética del coche cuando se encuentra en la segunda cima, a una altura de 20 m, es de 208500 J. Esto significa que aunque el coche ha perdido altura y por lo tanto energía potencial, esta pérdida se ha convertido en un aumento en la energía cinética, manteniendo constante la energía mecánica total del sistema.
Ver mas problemas dende se aplica el principio de conservación de la energía mecánica