El campo eléctrico es una magnitud vectorial que describe la fuerza que una carga eléctrica ejerce sobre otra carga de prueba positiva. El campo eléctrico \( \mathbf{E} \) en un punto del espacio debido a una carga puntual \( q \) se calcula usando la ley de Coulomb, que nos dice que:

\[
\mathbf{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{r}
\]

\( k_e = 8.99 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2 \) es la constante de Coulomb.

\( q \) es la magnitud de la carga que origina el campo.
\( r \) es la distancia entre la carga y el punto donde queremos calcular el campo eléctrico.
\( \hat{r} \) es el vector unitario en la dirección que va desde la carga hasta el punto en cuestión.

Tenemos dos partes en este reto: una carga positiva y una carga negativa. Cada una genera un campo eléctrico en el punto \( (7, 3) \), y vamos a calcular estas contribuciones paso a paso.

Parte A: Campo eléctrico debido a la carga de \( +3 \, \mu\text{C} \) en \( (-1, 2) \)

Comencemos con la carga positiva \( q_1 = +3 \, \mu\text{C} = 3 \times 10^{-6} \, \text{C} \) ubicada en el punto \( (-1, 2) \).

Primero, encontramos el vector que va desde la carga hasta el punto donde queremos calcular el campo eléctrico, que es \( (7, 3) \). Este vector se define como:

\[
\mathbf{r}_{21} = \mathbf{r}_2 – \mathbf{r}_1
\]

donde \( \mathbf{r}_2 = (7, 3) \) y \( \mathbf{r}_1 = (-1, 2) \). Entonces:

\[
\mathbf{r}_{21} = (7 – (-1), 3 – 2) = (8, 1)
\]

La magnitud de \( \mathbf{r}_{21} \), que es la distancia entre la carga y el punto, se calcula como:

\[
r_{21} = \sqrt{(8)^2 + (1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \, \text{m}
\]

Ahora, aplicamos la fórmula del campo eléctrico:

\[
\mathbf{E}_1 = k_e \frac{q_1}{r_{21}^2} \hat{r}_{21}
\]

donde \( \hat{r}_{21} \) es el vector unitario en la dirección de \( \mathbf{r}_{21} \). Calculamos primero la magnitud:

\[
\mathbf{E}_1 = 8.99 \times 10^9 \times \frac{3 \times 10^{-6}}{65} \, \text{N/C}
\]

La magnitud de \( \mathbf{E}_1 \) es:

\[
|\mathbf{E}_1| = \frac{8.99 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{65} = \frac{26.97 \times 10^3}{65} \, \text{N/C} \approx 415.69 \, \text{N/C}
\]

Ahora, determinamos \( \hat{r}_{21} \), que es el vector unitario de \( \mathbf{r}_{21} \):

\[
\hat{r}_{21} = \frac{(8, 1)}{\sqrt{65}} \approx \left(\frac{8}{\sqrt{65}}, \frac{1}{\sqrt{65}}\right)
\]

Entonces, el vector campo eléctrico \( \mathbf{E}_1 \) es:

\[
\mathbf{E}_1 = 415.69 \times \left(\frac{8}{\sqrt{65}}, \frac{1}{\sqrt{65}}\right) \, \text{N/C}
\]

Calculando cada componente:

\[
E_{1x} = 415.69 \times \frac{8}{\sqrt{65}} \approx 412.2 \, \text{N/C}
\]

\[
E_{1y} = 415.69 \times \frac{1}{\sqrt{65}} \approx 51.5 \, \text{N/C}
\]

Así, el campo eléctrico debido a la carga positiva es:

\[
\mathbf{E}_1 \approx 412.2 \, \hat{i} + 51.5 \, \hat{j} \, \text{N/C}
\]

Parte B: Campo eléctrico debido a la carga de \( -5 \, \mu\text{C} \) en \( (2, -5) \)

Ahora, hacemos lo mismo para la carga negativa \( q_2 = -5 \, \mu\text{C} = -5 \times 10^{-6} \, \text{C} \) ubicada en \( (2, -5) \).

El vector que va desde la carga hasta el punto \( (7, 3) \) es:

\[
\mathbf{r}_{22} = (7 – 2, 3 – (-5)) = (5, 8)
\]

La magnitud de \( \mathbf{r}_{22} \) es:

\[
r_{22} = \sqrt{(5)^2 + (8)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \, \text{m}
\]

Aplicamos la fórmula del campo eléctrico:

\[
\mathbf{E}_2 = k_e \frac{|q_2|}{r_{22}^2} \hat{r}_{22}
\]

Donde \( |q_2| = 5 \times 10^{-6} \, \text{C} \) es la magnitud de la carga. La magnitud de \( \mathbf{E}_2 \) es:

\[
|\mathbf{E}_2| = 8.99 \times 10^9 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{89} = \frac{44.95 \times 10^3}{89} \, \text{N/C} \approx 505.05 \, \text{N/C}
\]

Ahora, determinamos \( \hat{r}_{22} \):

\[
\hat{r}_{22} = \frac{(5, 8)}{\sqrt{89}} \approx \left(\frac{5}{\sqrt{89}}, \frac{8}{\sqrt{89}}\right)
\]

Así que:

\[
\mathbf{E}_2 = 505.05 \times \left(\frac{5}{\sqrt{89}}, \frac{8}{\sqrt{89}}\right) \, \text{N/C}
\]

Calculando las componentes:

\[
E_{2x} = 505.05 \times \frac{5}{\sqrt{89}} \approx -268 \, \text{N/C}
\]

\[
E_{2y} = 505.05 \times \frac{8}{\sqrt{89}} \approx -428.7 \, \text{N/C}
\]

Entonces, el campo eléctrico debido a la carga negativa es:

\[
\mathbf{E}_2 \approx -268 \, \hat{i} – 428.7 \, \hat{j} \, \text{N/C}
\]

Saludos!!