Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (d).

Elementos de una Parábola

Foco (F): El punto fijo que define la parábola.
Directriz (d): La recta fija que define la parábola.
Vértice (V): El punto medio del segmento perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Eje focal: La recta que pasa por el foco y el vértice.
Parámetro (p): La distancia entre el foco y la directriz, o el doble de la distancia entre el vértice y el foco.

Ecuaciones de una Parábola

Dependiendo de la orientación de la parábola (vertical u horizontal), y de la ubicación de su vértice, podemos tener diferentes formas de ecuaciones. Sin embargo, todas se derivan de la definición fundamental de la parábola. En nuestro caso, la ecuación reducida de una parábola con vértice en el origen (0, 0) y eje focal vertical es:

\[ x^2 = 2py \]

Vamos a dentificar los elementos:

Foco: \( F(0, 6) \)
 Directriz: \( y = -6 \)

El foco (0, 6) y la directriz y = -6 están a la misma distancia del origen (0, 0). Esto significa que el vértice de la parábola está en el origen.

El parámetro es el doble de la distancia entre el vértice (0, 0) y el foco (0, 6):

\[ p = 2 \times \text{distancia}(V, F) = 2 \times 6 = 12 \]

Como el eje focal es vertical y el vértice está en el origen, podemos usar la ecuación reducida de la parábola:

\[ x^2 = 2py \]

\[ x^2 = 2 \times 12y \]

\[ x^2 = 24y \]

La ecuación de la parábola con foco en (0, 6) y directriz y = -6 es:

\[ x^2 = 24y \]

La ecuación de la parábola con foco en (0, 6) y directriz y = -6