Primero identificamos las fuerzas que actúan sobre cada masa y luego utilizamos las ecuaciones de movimiento de Newton para encontrar la aceleración y la tensión en la cuerda.

Datos del problema:
– Masa 1 (\( m_1 \)) en el plano inclinado: \( 6.5 \, \text{kg} \)
– Masa 2 (\( m_2 \)) que cuelga: \( 3 \, \text{kg} \)
– Ángulo del plano inclinado: \( 40^\circ \)
– Aceleración debida a la gravedad: \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)

Paso 1: Dibujar los diagramas de fuerzas

Para la masa \( m_1 \) en el plano inclinado:
– La componente de la fuerza gravitatoria a lo largo del plano es \( m_1 g \sin \theta \)
– La componente de la fuerza gravitatoria perpendicular al plano es \( m_1 g \cos \theta \)
– La tensión en la cuerda (\( T \)) tira hacia arriba a lo largo del plano.

Para la masa \( m_2 \) que cuelga:
– La fuerza gravitatoria que actúa hacia abajo es \( m_2 g \)
– La tensión en la cuerda (\( T \)) tira hacia arriba.

Paso 2: Aplicar las segundas leyes de Newton para cada masa

Para \( m_1 \) en el plano inclinado:
\[ m_1 a = m_1 g \sin \theta – T \]

Para \( m_2 \) colgante:
\[ m_2 a = T – m_2 g \]

Donde \( a \) es la aceleración del sistema, que es la misma para ambas masas ya que están conectadas por la cuerda.

Paso 3: Resolver las ecuaciones simultáneamente

De la ecuación para \( m_1 \):
\[ T = m_1 g \sin \theta – m_1 a \]

De la ecuación para \( m_2 \):
\[ T = m_2 a – m_2 g \]

Igualamos las dos expresiones para \( T \):
\[ m_1 g \sin \theta – m_1 a = m_2 a – m_2 g \]

Reorganizamos para encontrar \( a \):
\[ m_1 g \sin \theta – m_2 a = m_2 g + m_1 a \]
\[ m_1 g \sin \theta – m_2 g = m_1 a + m_2 a \]
\[ (m_1 g \sin \theta – m_2 g) = (m_1 + m_2) a \]
\[ a = \frac{m_1 g \sin \theta – m_2 g}{m_1 + m_2} \]

Sustituimos los valores dados:
\[ m_1 = 6.5 \, \text{kg} \]
\[ m_2 = 3 \, \text{kg} \]
\[ \theta = 40^\circ \]
\[ g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \]
\[ \sin 40^\circ \approx 0.6428 \]

Entonces,
\[ a = \frac{6.5 \times 9.81 \times 0.6428 – 3 \times 9.81}{6.5 + 3} \]
\[ a = \frac{6.5 \times 9.81 \times 0.6428 – 29.43}{9.5} \]
\[ a = \frac{40.9651 – 29.43}{9.5} \]
\[ a = \frac{11.5351}{9.5} \]
\[ a \approx 1.2142 \, \text{m/s}^2 \]

Paso 4: Calcular la tensión en la cuerda

Usamos la ecuación de \( T \) para \( m_2 \):
\[ T = m_2 g – m_2 a \]
\[ T = 3 \times 9.81 – 3 \times 1.2142 \]
\[ T = 29.43 – 3.6426 \]
\[ T \approx 25.7874 \, \text{N} \]

Solución
– La aceleración del sistema es aproximadamente \( 1.2142 \, \text{m/s}^2 \).
– La tensión en la cuerda es aproximadamente \( 25.7874 \, \text{N} \).