Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija (el radio) de un punto dado (el centro). La ecuación general de una circunferencia es:

\[
(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2
\]

donde:

\((h, k)\) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
\(r\) es el radio de la circunferencia.

 a): Centro (2, 5) y radio 7

1. Identificar \(h\), \(k\) y \(r\):
\(h = 2\) (coordenada \(x\) del centro)

\(k = 5\) (coordenada \(y\) del centro)
\(r = 7\) (radio)

2. Sustituir en la ecuación general:

\[
(x – 2)^2 + (y – 5)^2 = 7^2
\]

\[
(x – 2)^2 + (y – 5)^2 = 49
\]

Esta es la ecuación estándar de la circunferencia. Si queremos la ecuación general, desarrollamos los cuadrados:

\[
x^2 – 4x + 4 + y^2 – 10y + 25 = 49
\]

\[
x^2 + y^2 – 4x – 10y – 20 = 0
\]

 b): Diámetro con extremos (8, -2) y (2, 6)

1. Encontrar el centro:
El centro de la circunferencia es el punto medio del diámetro. Para encontrar el punto medio, promediamos las coordenadas \(x\) y las coordenadas \(y\) de los extremos:

Coordenada \(x\) del centro: \((8 + 2) / 2 = 5\)
Coordenada \(y\) del centro: \((-2 + 6) / 2 = 2\)
Centro: \((5, 2)\)

2. Encontrar el radio:
El radio es la distancia del centro a cualquiera de los extremos del diámetro. Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

\[
r = \sqrt{(8 – 5)^2 + (-2 – 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

3. Sustituir en la ecuación general:

\[
(x – 5)^2 + (y – 2)^2 = 5^2
\]

\[
(x – 5)^2 + (y – 2)^2 = 25
\]

Para obtener la ecuación general, desarrollamos los cuadrados:

\[
x^2 – 10x + 25 + y^2 – 4y + 4 = 25
\]

\[
x^2 + y^2 – 10x – 4y + 4 = 0
\]