La ecuación reducida de una elipse centrada en el origen es:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Donde definimos:

\( a \): es la distancia del centro a los vértices horizontales (semieje mayor).
\( b \): es la distancia del centro a los vértices verticales (semieje menor).
\( c \): es la distancia del centro a los focos (semifocal).

Y se cumple la relación:

\[ c^2 = a^2 – b^2 \]

a): La elipse pasa por (25, 0) y la distancia semifocal es 7

Como la elipse pasa por (25, 0) y está centrada en el origen, el punto (25, 0) es un vértice horizontal. Por lo tanto, \( a = 25 \).
La distancia semifocal es \( c = 7 \).

Usamos la relación \( c^2 = a^2 – b^2 \):

\[ 7^2 = 25^2 – b^2 \]
\[ 49 = 625 – b^2 \]
\[ b^2 = 625 – 49 \]
\[ b^2 = 576 \]

Sustituimos los valores de \( a^2 \) y \( b^2 \) en la ecuación reducida:

\[ \frac{x^2}{25^2} + \frac{y^2}{576} = 1 \]

Por lo tanto, la ecuación reducida de la elipse es:

\[ \frac{x^2}{625} + \frac{y^2}{576} = 1 \]

Ecuación reducida de la elipse que pasa por (25, 0) y la distancia semifocal es 7.

 b): La elipse pasa por (4, 1) y (0, 3)

Sustituimos las coordenadas de los puntos (4, 1) y (0, 3) en la ecuación reducida:

Para (4, 1): \[ \frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \]
Para (0, 3): \[ \frac{9}{b^2} = 1 \]

Resolvemos el sistema de ecuaciones

De la segunda ecuación, obtenemos directamente:

\[ b^2 = 9 \]

Sustituimos este valor en la primera ecuación:

\[ \frac{16}{a^2} + \frac{1}{9} = 1 \]

Multiplicamos todo por \( a^2 \) para despejar \( a^2 \):

\[ 16 + \frac{a^2}{9} = a^2 \]
\[ 16 = a^2 – \frac{a^2}{9} \]
\[ 16 = \frac{9a^2 – a^2}{9} \]
\[ 16 = \frac{8a^2}{9} \]
\[ 16 \cdot 9 = 8a^2 \]
\[ 144 = 8a^2 \]
\[ a^2 = 18 \]

Sustituimos los valores de \( a^2 \) y \( b^2 \) en la ecuación reducida:

\[ \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1 \]

Por lo tanto, la ecuación reducida de la elipse es:

\[ \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1 \]

Ecuación reducida de la elipse que verifica que pasa por (4, 1) y por (0, 3).