Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de una Hipérbola

Focos (F₁ y F₂): Los dos puntos fijos que definen la hipérbola.
Centro (C): El punto medio del segmento que une los focos.
Vértices (V₁ y V₂): Los puntos de intersección de la hipérbola con el eje que pasa por los focos.
Eje focal: El eje que pasa por los focos y los vértices.
Eje transverso: El segmento que une los vértices.
Eje conjugado: El eje perpendicular al eje focal que pasa por el centro.
Distancia focal (2c): La distancia entre los focos.
Longitud del eje transverso (2a): La distancia entre los vértices.
Longitud del eje conjugado (2b): Se calcula como \( 2b = 2\sqrt{c^2 – a^2} \)

La ecuación reducida de una hipérbola con centro en el origen (0, 0) y eje focal horizontal es:

\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

\( a \): es la distancia del centro a cada vértice.
\( b \): se relaciona con la distancia focal y la longitud del eje transverso mediante la ecuación \( b^2 = c^2 – a^2 \).

Con lo que sabemos ahora, vamos a identificar cada elemento para ir armando nuestra ecuación de la hipérbola:

Focos: \( F_1 (7, 0) \) y \( F_2 (-7, 0) \)
Centro: \( C (0, 0) \) (punto medio entre los focos)
Distancia focal: \( 2c = 14 \implies c = 7 \)

Como la hipérbola pasa por el punto \( (4, 0) \), este punto es un vértice (\( V_1 \)). Por lo tanto, la distancia del centro al vértice es \( a = 4 \).

Usamos la relación \( b^2 = c^2 – a^2 \):

\[ b^2 = 7^2 – 4^2 = 49 – 16 = 33 \]
\[ b = \sqrt{33} \]

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