Para abordar este problema, primero recordemos la ley de Kepler que relaciona el periodo orbital de un planeta con el radio de su órbita. Esta ley establece que el cuadrado del periodo orbital (\( T \)) de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor (\( R_0 \)) de su órbita. Matemáticamente, esto se expresa como:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_0^3}{G M_s}} \]

– \( T \) es el periodo orbital del planeta.
– \( R_0 \) es el semieje mayor de la órbita del planeta.
– \( G \) es la constante de gravitación universal.
– \( M_s \) es la masa del Sol.

Ahora, apliquemos esta ecuación para calcular el periodo orbital de Júpiter en relación con el periodo orbital de la Tierra (\( T_T \)). Dado que se nos proporciona que la distancia media del Sol a Júpiter es 5.2 veces mayor que la distancia entre el Sol y la Tierra, podemos usar esta relación para encontrar el cociente de los periodos orbitales de Júpiter y la Tierra (\( T_J/T_T \)). Aplicamos el cociente y simplificamos factores comunes:

\[ \frac{T_J}{T_T} = \sqrt{\frac{R_{0j}^3}{R_{0T}^3}} = \sqrt{5.2^3} \]

Ahora definimos:
– \( R_{0j} \) es el semieje mayor de la órbita de Júpiter.
– \( R_{0T} \) es el semieje mayor de la órbita de la Tierra.

Luego, calculamos el periodo orbital de Júpiter (\( T_J \)) multiplicando este cociente por el periodo orbital de la Tierra (\( T_T \)):

\[ T_J = \sqrt{5.2^3} \times T_T \]

\[ T_J = \sqrt{140.608} \times T_T \]

\[ T_J \approx 11.85 \times T_T \]

Por lo tanto, el periodo orbital de Júpiter alrededor del Sol es aproximadamente 11.85 veces el periodo orbital de la Tierra. Esto significa que Júpiter completa una órbita alrededor del Sol en aproximadamente 11.85 años terrestres.

Para convertir esto a días y horas:

– En días: \(11.86 \text{ años} \times 365 \text{ días/año} = 4330.9 \text{ días}\).
– En horas: \(4330.9 \text{ días} \times 24 \text{ horas/día} = 103940.5 \text{ horas}\).

Por lo tanto, el periodo orbital de Júpiter es aproximadamente 11 años, 330 días y 12 horas.

El valor oficial del periodo orbital de Júpiter, según Wikipedia, es de 11 años, 315 días y 1,1 horas. Esta precisión demuestra la efectividad y utilidad de la aplicación de las leyes de Kepler en el estudio del movimiento planetario incluso con datos imprecisos o poco ajustados a la realidad. Recordemos que se nos proporciona en el problema que la distancia media del Sol a Júpiter es 5.2 veces mayor que la distancia entre el Sol y la Tierra y en ese valor puede haber impreciosones